Séries et Suites Numériques (flashcard)

Séries et Propriétés Générales

Définitions et Notations

• Une série est définie par une suite (u_n) de nombres réels.

• S_n représente la somme des n premiers termes : S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n.

• La série du terme général (u_n) est notée Σu_n.

• La suite des sommes partielles (S_n) est associée à la série.

Convergence et Divergence

• Une série Σu_n converge (CV) si la suite de ses sommes partielles converge.

• Si Σu_n converge, sa somme est la limite des sommes partielles : Σu_n = lim (S_n) lorsque n tend vers l'infini.

• Si la série ne converge pas, elle diverge (DV).

Remarques

• Si le terme général est défini pour n ≥ N, les sommes partielles sont S_n = u_N + u_{N+1} + ... + u_n.

• La nature d'une série ne change pas si un nombre fini de ses termes sont modifiés.

Exemples

1. u_n = (-1)^n : S_n oscille entre 0 et 1, donc Σu_n est divergente.

2. u_n = 1 / (n(n+1)) : La série converge.

3. u_n = 1 / n : La série diverge.

Théorème

Si la série Σu_n converge, alors lim (u_n) = 0 lorsque n tend vers l'infini. Par conséquent, si lim (u_n) ≠ 0, alors Σu_n diverge.

Série Géométrique

• u_n = x^n, où x ∈ ℝ.

• La série géométrique Σx^n converge si |x| < 1 et diverge sinon.

• Si |x| < 1, alors Σx^n = 1 / (1 - x).

Critère de Cauchy pour les Séries

• La série Σu_n converge si et seulement si la suite des sommes partielles (S_n) satisfait le critère de Cauchy.

• Le critère de Cauchy stipule que pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tous m > n > N, |S_m - S_n| < ε.

• Σ_{k=n+1}^m u_k < ε pour tous m > n > N.

Suites Numériques:

• Rappel des concepts clés liés aux suites numériques, en se concentrant sur la convergence, la divergence et les théorèmes importants.

Convergence et Divergence (Récapitulatif)

• Une suite (u_n) converge vers une limite , si il existe un nombre l tel que

• lim (n-> infini) |u_n - l| =0 . Ceci est noté lim (u_n) = l.

• Si une suite ne converge pas, elle diverge.

• Si lim (u_n) = ∞, la suite diverge.

Propriétés des Suites Convergentes

• Toute suite convergente est bornée, ce qui signifie qu'il existe un nombre M>0 tel que |u_n| ≤ M pour tout n.

Suites de Cauchy

• Une suite (u_n) est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tous m, n > N, |u_m - u_n| < ε.

• Dans les nombres réels (R), toute suite de Cauchy converge (R est complet). Ceci est utile car cela permet de déterminer la convergence sans connaître la limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

• Toute suite bornée admet au moins une sous-suite convergente.

• Une sous-suite (u_{n_k}) est formée en sélectionnant des éléments de la suite originale tels que n_1 < n_2 < n_3 < ....

• Une autre notation pour une sous-suite est (u_{n_k}), où (n_k) est une suite strictement croissante.

Exemples

• Considérons la suite u_n = (-1)^n, les sous-suites formées par les indices pairs (u_{2m} = 1) et les indices impairs (u_{2m+1} = -1) sont convergentes

• Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente.

Opérations avec les Suites

• Si (u_n) et (v_n) convergent, alors:

  • lim (u_n + v_n) = lim (u_n) + lim (v_n)

  • lim (u_n * v_n) = lim (u_n) * lim (v_n)

  • lim (u_n / v_n) = lim (u_n) / lim (v_n) (à condition que lim (v_n) ≠ 0)