Produit de Fractions

Explication du Produit de Deux Fractions

Le produit de deux fractions peut être compris et expliqué de plusieurs manières, adaptées au niveau de compréhension des élèves.

1. Approche Visuelle (École Primaire / Cycle 3)

Pour expliquer (a/b) * (c/d), l'utilisation d'un rectangle est une approche visuelle puissante et très employée à l'école primaire.

Prenez un rectangle qui représente une unité (son aire est égale à 1).

• Divisez ce rectangle en b parties égales horizontalement. Hachurez a de ces parties pour représenter la fraction a/b.

• Divisez ensuite le *même* rectangle en d parties égales verticalement. Hachurez c de ces parties pour représenter la fraction c/d.

Le produit (a/b) * (c/d) est représenté par l'aire du rectangle qui est doublement hachurée (l'intersection des deux hachures).
Cette aire correspondra à ac petites sections sur un total de bd petites sections, d'où le résultat ac/bd.

Exemple : Pour 2/3 * 4/5, dessinez un rectangle. Divisez-le en 3 lignes et 5 colonnes. Hachurez 2 des 3 lignes, puis hachurez 4 des 5 colonnes. Vous verrez que 8 petits rectangles sont doublement hachurés, sur un total de 15 petits rectangles. Le produit est donc 8/15.

2. Démonstration Formelle (Collège / Cycle 4)

Cette démonstration s'appuie sur la définition du quotient : le nombre x = A/B est le nombre tel que B * x = A.

1. On veut prouver que (a/b) * (c/d) = (ac)/(bd).

2. Posons X = a/b et Y = c/d.

3. Selon la définition du quotient, nous avons :

   • b * X = a

   • d * Y = c

4. Notre objectif est de montrer que le produit (XY) est égal à (ac)/(bd). Cela signifie que (bd) * (XY) doit être égal à ac.

5. Multiplions les deux équations obtenues à l'étape 3 :
   (b * X) * (d * Y) = a * c

6. En utilisant la commutativité et l'associativité de la multiplication, nous pouvons réarranger les termes :
   (b * d) * (X * Y) = a * c

7. D'après la définition du quotient (si B * x = A, alors x = A/B), nous pouvons conclure que :
   X * Y = (a * c) / (b * d)

8. Ainsi, (a/b) * (c/d) = (ac)/(bd).

Cette démonstration est plus abstraite et convient aux élèves ayant une compréhension plus solide des propriétés des opérations.

3. Propriété Retenir

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.