Examen National Bac Maroc 2025 Maths

Examen National Unifié du Baccalauréat – Session Ordinaire 2025

Cet examen de la session ordinaire de 2025 pour le baccalauréat marocain est destiné aux filières Sciences Mathématiques (A) et (B), option français. Il couvre plusieurs domaines des mathématiques.

Informations Générales de l'Examen

• Durée: 4 heures

• Coéfficient: 9

• Composition: Quatre exercices indépendants

• Ordre: Le candidat peut traiter les exercices dans l'ordre de son choix.

• Interdits:

  • L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

  • L'usage de la couleur rouge n'est pas autorisé.

Structure des Exercices

Exercice 1 : Analyse

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction numérique, ses propriétés, son graphe et les intégrales associées, ainsi que sur les suites numériques.

Partie I : Étude de la fonction

Soit la fonction numérique définie sur par . Sa courbe représentative est notée dans un repère orthogonal .

1. Propriétés de symétrie et limites

1. Symétrie de : Montrer que pour tout , .
   Ce résultat indique une symétrie de la fonction par rapport à la droite d'équation .

2. Interprétation graphique : Le résultat signifie que la courbe est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation .

3. Calcul des limites : Calculer et en déduire .
   Pour , et , donc . Pour , utiliser la symétrie ou factoriser par .

4. Interprétation graphique des limites : Les résultats obtenus indiquent des asymptotes horizontales pour la courbe .

2. Dérivée et variations de

1. Calcul de la dérivée : Montrer que pour tout , .
   Il est utile d'utiliser la formule de dérivation d'un quotient et de factoriser pour simplifier l'expression.

2. Tableau de variations et encadrement : Donner les variations de et en déduire que .
   Le signe de dépend du signe de . La valeur maximale de doit être déterminée et cela donnera l'encadrement.

3. Représentation graphique

Représenter graphiquement la courbe dans le repère .
Conditions: cm, cm. Valeurs approximatives utiles: et .

4. Propriétés des intégrales

1. Égalité des intégrales : Montrer que .
   Ce résultat peut être démontré en utilisant la propriété de symétrie avec un changement de variable dans l'une des intégrales.

2. Expression de l'intégrale sur : En déduire que .
   La relation de Chasles pour les intégrales est applicable ici.

5. Calcul d'intégrales et aire

1. Changement de variable : En effectuant le changement de variables , montrer que .
   N'oubliez pas de changer les bornes de l'intégrale et l'élément différentiel .

2. Calcul de l'intégrale : Montrer que .
   Cette intégrale peut être calculée en utilisant la formule de l'intégrale de .

3. Calcul de l'aire : En déduire l'aire, en , du domaine plan délimité par , les droites d'équations , et .
   L'aire est donnée par . N'oubliez pas les coefficients de mise à l'échelle du repère si applicables.

Partie II : Étude d'une suite récurrente

Soit la suite définie par et pour tout .

1. Encadrement de la dérivée

En utilisant le résultat de la question I.2-a), montrer que pour tout , .
Cette inégalité est cruciale pour l'étude de la convergence de la suite.

2. Propriétés de la fonction et existence d'un point fixe

1. Encadrement de : Montrer que pour tout , .
   Il faudra évaluer sur l'intervalle donné et utiliser les propriétés de .

2. Fonction : Montrer que la fonction est strictement décroissante sur .
   Il suffit d'étudier le signe de sa dérivée .

3. Point fixe : En déduire qu'il existe un unique réel tel que .
   Ceci découle du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à sur l'intervalle .

3. Convergence de la suite

1. Encadrement de : Montrer que pour tout , .
   Utiliser un raisonnement par récurrence, en se basant sur le fait que l'intervalle est stable par .

2. Inégalité des accroissements finis : Montrer que pour tout , .
   Appliquer le théorème des accroissements finis à sur l'intervalle ou .

3. Encadrement récurrent : Montrer par récurrence que pour tout , .
   C'est une application directe de l'inégalité précédente.

4. Convergence : En déduire que la suite converge vers .
   Puisque la majoration tend vers 0 lorsque , la suite converge vers .

Partie III : Étude d'une suite de sommes de Riemann

On considère la suite numérique définie par .

1. Transformation de

1. Vérification de l'expression : Vérifier que pour tout , .
   Manipuler l'expression de et les termes de la somme pour trouver l'égalité.

2. Intégrale associée : Montrer que .
   Un changement de variables peut être utile.

2. Convergence de

Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Astuce : La forme de suggère une somme de Riemann. L'expression combinée à la somme et au terme est un indicateur de ce type de convergence vers une intégrale.

Exercice 2 : Nombres Complexes (3.5 points)

Cet exercice explore les propriétés des équations du second degré dans et l'interprétation géométrique des solutions.

Soit . On considère dans l'équation d'inconnue :

$

Partie I : Solutions de l'équation

1. Calcul du discriminant

1. Vérification du discriminant : Vérifier que le discriminant de l'équation est .
   Utiliser la formule et simplifier l'expression.

2. Déduction des solutions : En déduire les deux solutions et de l'équation avec .
   Les solutions sont données par (si applicable) ou .

2. Rapport des solutions

Vérifier que est un imaginaire pur.
Un nombre complexe est un imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

Partie II : Interprétation Géométrique

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct . On note le point d'affixe . On pose avec .

1. Alignement et orthogonalité

On considère les points , et avec .

1. Orthogonalité : Montrer que , puis en déduire que les droites et sont perpendiculaires.
   Le quotient de deux affixes complexes est un imaginaire pur si et seulement si les vecteurs associés sont orthogonaux.

2. Alignement : Montrer que , puis en déduire que les points et sont alignés.
   Le quotient de deux affixes complexes est un réel si et seulement si les vecteurs associés sont colinéaires.

2. Propriétés géométriques supplémentaires

Soient le milieu du segment et le milieu du segment .

1. Relation entre affixes : Montrer que .
   Utiliser les formules des affixes des milieux : et .

2. Orthogonalité et rapport de longueurs : En déduire que les droites et sont perpendiculaires et que .
   Interprétation géométrique du quotient des affixes.

3. Points cocycliques : Soit le point d'intersection des droites et . Montrer que les points et sont cocycliques.
   Les points sont cocycliques s'ils appartiennent au même cercle. Une condition est que l'angle soit égal à l'angle .

4. Orthogonalité finale : Montrer que les droites et sont perpendiculaires.
   Revoir les propriétés des milieux et des vecteurs associés.

Exercice 3 : Arithmétique (3 points)

Cet exercice se concentre sur la divisibilité, les congruences, et l'équation diophantienne.

Soient un nombre premier impair et un entier premier avec .

1. Théorème d'Euler ou de Fermat

Montrer que ou .
Ceci est une propriété clé liée au critère d'Euler, découlant du petit théorème de Fermat.

2. Solutions d'une équation quadratique modulo

On considère dans l'équation . Soit une solution de cette équation.

1. Congruence de : Montrer que .
   Utiliser le petit théorème de Fermat.

2. Déduction de : En déduire que .
   Substituer dans l'expression et utiliser la question 1.

3. Divisibilité et équation diophantienne

Soit un entier naturel non nul.

1. Condition de divisibilité : Montrer que si divise alors .
   Si , alors . Utiliser les propriétés des ordres modulaires.

2. Existence de solution pour une équation diophantienne : En déduire que l'équation admet au moins une solution dans .
   Ceci est une application du théorème de Bézout. Il faut montrer que $11 sont premiers entre eux.

4. Résolution d'une congruence quadratique

On considère dans l'équation .

1. Équivalence de formes : Montrer que .
   Multiplier l'équation par un inverse modulaire, puis compléter le carré.

2. Non-existence de solution : En déduire que l'équation n'admet pas de solution dans .
   Il faut vérifier si a des solutions. On peut évaluer modulo $11</em><span data-latex=" pour toutes les valeurs possibles de " data-type="inline-math"></span><em>x$.

Exercice 4 : Structures Algébriques (3.5 points)

Cet exercice traite des anneaux, des espaces vectoriels et de la structure de groupe.

On rappelle que est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice et d'unité la matrice , et que est un espace vectoriel réel.

Soient la matrice et l'ensemble .

5. Loi de composition interne et isomorphisme

On munit de la loi de composition interne définie par :

$

et on considère l'application définie de vers par : .

L'énoncé suggère l'utilisation de l'identité : . Cette identité pourrait être une erreur de frappe ou une indication pour une question ultérieure non fournie. Pour les questions données, elle n'est pas directement évidente à utiliser.

Rappel : Il est fort probable que cet exercice demande de démontrer que est un groupe et que est un isomorphisme de groupes, ou des propriétés similaires.

Fin de l'Examen