Théorie de la mesure et tribus

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Ce document explore l'intégration de fonctions non intégrables au sens de Riemann et introduit la théorie de la mesure, incluant les tribus, les fonctions mesurables et les mesures, telles que la mesure de Lebesgue et la mesure de Dirac, ainsi que leurs propriétés.

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Pregunta

Pourquoi une nouvelle théorie de l'intégration ?

Respuesta

Pour intégrer plus de fonctions, comme 1_ℚ, et avoir des théorèmes de convergence plus performants.

Pregunta

Qu'est-ce qu'une tribu sur un ensemble X ?

Respuesta

Une famille de parties de X contenant ∅, stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable.

Pregunta

Définir la tribu borélienne sur ℝ.

Respuesta

C'est la plus petite tribu sur ℝ contenant tous les ensembles ouverts. On la note B(ℝ).

Pregunta

Quand une fonction est-elle dite mesurable ?

Respuesta

Si l'image réciproque de tout ensemble mesurable de l'espace d'arrivée est un ensemble mesurable de l'espace de départ.

Pregunta

Qu'est-ce qu'une fonction étagée ?

Respuesta

Une fonction mesurable qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs. C'est une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices.

Pregunta

La limite d'une suite de fonctions mesurables est-elle mesurable ?

Respuesta

Oui, la limite simple, ainsi que les limites inférieure et supérieure, d'une suite de fonctions mesurables sont des fonctions mesurables.

Pregunta

Qu'est-ce qu'une mesure sur un espace mesurable (X, A) ?

Respuesta

Une application μ: A → [0, +∞] telle que μ(∅)=0 et qui est σ-additive pour toute suite d'ensembles mesurables disjoints.

Pregunta

Citer une propriété de la continuité d'une mesure.

Respuesta

Pour une suite croissante d'ensembles (Aₙ), la mesure de l'union est la limite des mesures : μ(⋃Aₙ) = lim μ(Aₙ).

Pregunta

Quelle est la mesure de Lebesgue d'un singleton dans ℝᵈ ?

Respuesta

La mesure de Lebesgue de tout point (ou singleton) dans ℝᵈ est nulle.

Pregunta

La mesure de Lebesgue est-elle invariante par translation ?

Respuesta

Oui, pour tout borélien A et tout vecteur x, la mesure de Lebesgue de l'ensemble translaté (x+A) est égale à celle de A.

I) Introduction

Pourquoi une nouvelle théorie de l'intégration?

La théorie de l'intégration de Riemann présente plusieurs limites qui ontmotivé le développement de l'intégration de Lebesgue.

Elle ne permet pas d'intégrer un grand nombre de fonctions,même simples. Par exemple, la fonction de Dirichlet , définie par si et si , n'est pas intégrable au sens de Riemann. Cela est dû au fait que l'ensemble des rationnels est dense dans (bien que dénombrable) et l'ensemble des irrationnels est également dense dans (mais non dénombrable).
L'intégration de Riemann manque de propriétés désirables en termes de permutation de limites et d'intégrales. Il est courant que soit différent de .

Exemple : Soit sur .

pour tout . Donc .
. Donc .

Ceci illustre l'undes problèmes majeurs de l'intégration de Riemann lors de l'échange des opérations de limite et d'intégration.

Théorie de la Mesure

Introduction à la mesure

L'intégration de Lebesgue se base sur le concept de mesure. L'idée est de généraliser la notion de "longueur", "aire" ou "volume".

Comparaison : Intégration de Riemann vs. Intégration de Lebesgue

Intégration de Riemann	Intégration de Lebesgue
Découpe le domaine en segments "fins". La somme est de la forme .	Découpele codomaine en intervalles . La somme est de la forme , où .
Difficultés avec les fonctions irrégulières ou discontinues sur des ensembles complexes.	Permet d'intégrer une classe beaucoup plus large de fonctions, y compris celles très discontinues.

Tribus

Avant de définir une mesure, nous avons besoin d'un ensemble suffisamment "régulier" pour pouvoir lui attribuer une mesure. C'est l'objectif des tribus.

Définition : Soit un ensemble. Onappelle tribu sur (ou -algèbre) toute famille de parties de vérifiant les propriétés suivantes :

L'ensemble vide appartient à : .
est stable par passage au complémentaire: Si , alors .
est stable par réunion dénombrable: Si est une suite d'éléments de , alors .

Le couple s'appelle un espace mesurable. Les élémentsde sont appelés des ensembles mesurables.

Exemples de tribus:

est la tribu grossière sur . C'est la pluspetite tribu au sens de l'inclusion.
(l'ensemble des parties de ) est la tribu triviale sur . C'est la plus grande tribu au sens de l'inclusion.
Si, alors est une tribu sur . (C'est la plus petite tribu qui contient si et ).

Propriétés des tribus:

Soit un espace mesurable:

. (Puisque et ).
Une tribu est stable par réunion finie.
Une tribu est stable par intersection dénombrable (et donc finie). (Utiliser les lois de De Morgan: ).
Si , alors (différence propre: ).
Si , alors (différence symétrique: ).
est stable par limite inférieure et limite supérieure d'ensembles.
Rappel : Soit une suite d'éléments de .
- (les qui appartiennent à une infinité de ).
- (les qui appartiennent à presque tous les ).
Ces deux ensembles appartiennent à la tribu car est stable par réunions et intersections dénombrables.

Contre-exemple : L'ensemble des ouverts de (pour une topologie donnée) n'est pas en général une tribu sur . Le complémentaire d'un ouvert est un fermé, et un fermé n'est pas nécessairement un ouvert. Donc n'est pas stable par passage au complémentaire.

Intersection de tribus:

Proposition : L'intersection (quelconque) de tribus est une tribu.

Démonstration : Soit un ensemble d'indices quelconque, et une famille de tribus sur . Soit .

Pour tout , . Donc .
Soit . Alors pour tout , . Comme chaque est une tribu, pour tout . Donc .
Soit une suite d'éléments de . Alors pour tout et pour tout , . Puisque chaque est stable par réunion dénombrable, pour tout . Donc .

Donc est une tribu.

Tribuengendrée

Définition : Soit une famille de parties de . Il existe une plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant . On la note et on l'appelle latribu engendrée par .

En d'autres termes, .

Remarques :

Si est déjà une tribu, alors .
Si , alors .
En particulier, si est une tribu et , alors .

Exemple : Soit avec et . Alors . On note pour alléger.

Tribu borélienne

Définition : La tribu borélienne ou tribu des boréliens de (espace topologique) est la tribu engendrée par l'ensemble des ouverts de . On la note .

Remarque : Par stabilité par passage au complémentaire et par le fait que les fermés sont les complémentaires des ouverts, est aussi la tribu engendrée parles fermés de .

Remarque : en général. Pour , est strictement inclus dans .

En fait, (où désigne le cardinal d'un ensemble).

Proposition : Familles génératrices de

La tribu borélienne est engendrée par les familles d'intervalles suivantes (parmi d'autres):

(les intervalles ouverts).
(les intervalles fermés).
(les intervalles semi-ouverts à gauche).
(les intervalles semi-ouverts à droite).

Plus généralement, est engendrée par les familles comprenant uniquement des intervalles ouverts (ou fermés, semi-ouverts)dont les bornes sont des rationnels. Par exemple:

Démonstration partielle (pour ) : Montrons que $\mathcal{B

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