Résoudre Exercice 2 Logique

Exercice 2 : Analyse de Propositions Logiques

Cetexercice vise à déterminer le type, la valeur de vérité et la négation de plusieurspropositions logiques.

Rappel des Concepts Clés

• Proposition : Un énoncé quipeut être vrai ou faux, mais pas les deux.

• Quantificateurs :

  • Universal : (pour tout)

  • Existentiel : (il existe)

• Connecteurs Logiques :

  • Conjonction : et ()

  • Disjonction : ou ()

  • Implication :

  • Équivalence :

  • Négation : Non ()

• Règles de Négation :

  • est

  • est

  • est

  • est \neg P \land \neg Q</mark></p></li></ul></li></ul><h3>Propositions à Analyser</h3><p>(1) P₁: "x² ≥ 0 et 2 +5 = 7"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition composée</mark> (conjonction de deux propositions).</p></li><li><p><strong>Analyse des composantes</strong> :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>"x² ≥ 0" : <mark>Toujours vraie</mark> pourtout <span data-latex="x \in \mathbb{R}" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>"2 + 5 = 7" : <mark>Vraie</mark>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : Puisque les deux parties sont vraies, la conjonction est <mark>Vraie</mark>.</p></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\neg P_1" data-type="inline-math"></span><mark> : "x² &lt; 0 ou 2 + 5 </mark><span data-latex="\neq" data-type="inline-math"></span><mark> 7"</mark>.</p></li><li><p><strong>Deduction</strong> : La négation est <mark>Fausse</mark> car x² &lt; 0 est faux et 2+5 <span data-latex="\neq" data-type="inline-math"></span> 7 est faux.</p></li></ul><p>(2) P₂: "|x + y| &gt; 5 ou 3 &lt; y ≤ 4"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition ouverte</mark> (dépend des variables x et y).</p></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : <mark>Ne peut être déterminée sans valeurs pour x et y</mark>.</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>Exemple : Si x=1, y=3.5, alors <span data-latex="|1+3.5| = 4.5 \ngtr 5" data-type="inline-math"></span> (Faux) et <span data-latex="3 &lt; 3.5 \le 4" data-type="inline-math"></span> (Vrai). Donc <span data-latex="P_2" data-type="inline-math"></span> est <mark>Vraie</mark>.</p></li><li><p>Exemple : Si x=1, y=1, alors <span data-latex="|1+1|=2 \ngtr 5" data-type="inline-math"></span> (Faux) et <span data-latex="3 &lt; 1 \le 4" data-type="inline-math"></span> (Faux). Donc <span data-latex="P_2" data-type="inline-math"></span> est <mark>Fausse</mark>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\negP_2" data-type="inline-math"></span><mark> : "|x + y| ≤ 5 et (y ≤ 3 ou y &gt; 4)"</mark>.</p></li></ul><p>(3) P₃: "<span data-latex="\exists x \in \mathbb{R}, 2x² + 3x + 2 &lt; 0" data-type="inline-math"></span>"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition existentielle</mark>.</p></li><li><p><strong>Analyse</strong> : On calcule le discriminant du trinôme <span data-latex="2x² + 3x + 2" data-type="inline-math"></span>.</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><span data-latex="\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Puisque <span data-latex="\Delta &lt; 0" data-type="inline-math"></span> et le coefficient dominant (2) est <mark>positif</mark>, le trinôme <span data-latex="2x² + 3x + 2" data-type="inline-math"></span> est <mark>toujours positif</mark> pour tout <span data-latex="x \in \mathbb{R}" data-type="inline-math"></span>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : Il n'existe aucun <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> tel que <span data-latex="2x² + 3x + 2 &lt; 0" data-type="inline-math"></span>. Donc <span data-latex="P_3" data-type="inline-math"></span> est <mark>Fausse</mark>.</p></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\neg P_3" data-type="inline-math"></span><mark> : "</mark><span data-latex="\forall x \in \mathbb{R}, 2x² + 3x + 2 \ge 0" data-type="inline-math"></span><mark>"</mark>.</p></li><li><p><strong>Deduction</strong> : La négation est <mark>Vraie</mark>.</p></li></ul><p>(4) P₄: "<span data-latex="\forall x \in \mathbb{R}^{*}, x + 2/x \neq \sqrt{3}" data-type="inline-math"></span>"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition universelle</mark>.</p></li><li><p><strong>Analyse</strong> : On cherche à savoir si l'équation <span data-latex="x + 2/x = \sqrt{3}" data-type="inline-math"></span> a des solutions dans <span data-latex="\mathbb{R}^{*}" data-type="inline-math"></span>.</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>Multiplication par <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> (puisque <span data-latex="x \neq 0" data-type="inline-math"></span>): <span data-latex="x^2 + 2 =\sqrt{3}x" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Réarrangement : <span data-latex="x^2 - \sqrt{3}x + 2 = 0" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Calcul du discriminant : <span data-latex="\Delta = (-\sqrt{3})^2 - 4(1)(2) = 3 - 8 = -5" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Puisque <span data-latex="\Delta &lt; 0" data-type="inline-math"></span>, l'équation <mark>n'a pas de solution réelle</mark>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : Il n'y a aucun <span data-latex="x \in \mathbb{R}^{*}" data-type="inline-math"></span> pour lequel <span data-latex="x + 2/x = \sqrt{3}" data-type="inline-math"></span>. Donc l'énoncé <span data-latex="x + 2/x \neq \sqrt{3}" data-type="inline-math"></span> est <mark>toujours vrai</mark> pour tout <span data-latex="x \in \mathbb{R}^{*}" data-type="inline-math"></span>. Donc <span data-latex="P_4" data-type="inline-math"></span> est <mark>Vraie</mark>.</p></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\neg P_4" data-type="inline-math"></span><mark> : "</mark><span data-latex="\exists x \in \mathbb{R}^{*}, x + 2/x = \sqrt{3}" data-type="inline-math"></span><mark>"</mark>.</p></li><li><p><strong>Deduction</strong> : La négation est <mark>Fausse</mark>.</p></li></ul><p>(5) P₅: "<span data-latex="\exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, x - y &lt; 0" data-type="inline-math"></span>"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition existentielle universelle</mark>.</p></li><li><p><strong>Analyse</strong> : On cherche s'il existe une valeur de <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span> telle que <span data-latex="x - y &lt; 0" data-type="inline-math"></span> (ou <span data-latex="x &lt; y" data-type="inline-math"></span>) soit vraie pour <mark>TOUS</mark> les <span data-latex="x \in \mathbb{R}" data-type="inline-math"></span>.</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>Siun tel <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span> existait, cela signifierait que tous les nombres réels <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> sont strictement inférieurs à <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Ceci est <mark>impossible</mark> car l'ensemble des nombres réels <mark>n'est pas borné supérieurement</mark>.Pour tout <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span>, on peut toujours trouver un <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> (par exemple <span data-latex="x = y+1" data-type="inline-math"></span>) tel que <span data-latex="x \ge y" data-type="inline-math"></span>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : <span data-latex="P_5" data-type="inline-math"></span> est <mark>Fausse</mark>.</p></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\neg P_5" data-type="inline-math"></span><mark> : "</mark><span data-latex="\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, x - y \ge 0" data-type="inline-math"></span><mark>"</mark>.</p></li><li><p><strong>Deduction</strong> : La négation est <mark>Vraie</mark>. Pour tout <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span>, il suffit de prendre <span data-latex="x = y" data-type="inline-math"></span> (ou <span data-latex="x = y+1" data-type="inline-math"></span>) pour que <span data-latex="x-y \ge 0" data-type="inline-math"></span>.</p></li></ul><p>(6) P₆: "<span data-latex="\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x - y &lt; 0" data-type="inline-math"></span>"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition universelle existentielle</mark>.</p></li><li><p><strong>Analyse</strong> : Pour chaque <span data-latex="x \in \mathbb{R}" data-type="inline-math"></span>, on cherche s'il existe un <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span> tel que <span data-latex="x- y &lt; 0" data-type="inline-math"></span> (ou <span data-latex="x &lt; y" data-type="inline-math"></span>).</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>Pour un <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> donné, on doit trouver un <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span> qui est <mark>strictement supérieur à </mark><span data-latex="x" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p>Oui, on peut toujours choisir un tel <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span>. Par exemple, onpeut prendre <span data-latex="y = x + 1" data-type="inline-math"></span>. Alors <span data-latex="x - (x+1) = -1 &lt; 0" data-type="inline-math"></span>.</p></li></ul></li><li><p><strong>Valeur de vérité</strong> : <span data-latex="P_6" data-type="inline-math"></span> est <mark>Vraie</mark>.</p></li><li><p><strong>Négation</strong> : <span data-latex="\neg P_6" data-type="inline-math"></span><mark> : "</mark><span data-latex="\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x - y \ge 0" data-type="inline-math"></span><mark>"</mark>.</p></li><li><p><strong>Deduction</strong> : La négation est <mark>Fausse</mark>.</p></li></ul><p>(7) P₇ : "<span data-latex="\forall x \in [0,2], \exists y \in [1/2, 3/4], xy - x + 2y - 1 = 0" data-type="inline-math"></span>"</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p><strong>Type</strong> : <mark>Proposition universelle existentielle</mark>.</p></li><li><p><strong>Analyse</strong> : Pour chaque <span data-latex="x" data-type="inline-math"></span> dans l'intervalle <span data-latex="[0,2]" data-type="inline-math"></span>, on doit vérifier s'il existe un <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span> dans l'intervalle <span data-latex="[1/2, 3/4]" data-type="inline-math"></span> qui satisfaitl'équation.</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p>On réarrange l'équation pour isoler <span data-latex="y" data-type="inline-math"></span>: </p><pre><code>xy - x + 2y - 1 = 0$ $y(x + 2) - (x + 1) = 0$ $y(x + 2) = x + 1$ $y = \frac{x+1}{x+2}$

  • Maintenant, pour que soit vraie, il faut que pour tout , la valeur de soit dans l'intervalle .

  • Considérons la fonction .

  • Étant donné que , la fonction est strictement croissante sur son domaine, y compris sur .

  • Calculons lesvaleurs extrêmes de sur :

    • Pour , .

    • Pour , .

  • Donc, pour tout , la valeur de est toujours dans l'intervalle (c'est l'intervalle image de la fonction sur ).

• Valeur de vérité : est Vraie.

• Négation : : "".

• Deduction : La négation est Fausse.

Résumé des Résultats