Real Sequences: Definitions and Properties

Introduction aux Suites Réelles

Une suite de nombres réels est une fonction définie sur un ensemble de la forme , où est un entier non négatif. Elle est généralement notée si elle est définie sur .

• Le terme est appelé et est le terme général de la suite.

• Exemple de suite explicite: Pour définie par , les premiers termes sont , , .

• Exemple de suite récurrente: Pour définie par , on a , .

Bornes d'une Suite

Considérons une suite réelle .

• Majorée: .

  • Exemple: est majorée par $0$.

Minorée: .

• Exemple: est minorée par $0$.

• Bornée: .

  • Équivalent à: .

  • Exemple: est bornée car .

Monotonie d'une Suite

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite.

• Croissante: .

• Strictement croissante: .

  • Exemple: est strictement croissante.

• Décroissante: .

  • Exemple: est strictement décroissante.

• Strictement décroissante: .

• Constante: .

Méthodes pour étudier la variation:

1. Étudier le signe de .

2. Si tous les termes sont positifs, comparer le ratio :

   • Si , la suite est décroissante.

   • Si , la suite est croissante.

Théorème sur les suites définies par récurrence :

Si est une fonction croissante:

• Si , alors est croissante.

• Si , alors est décroissante.

• Preuve par récurrence: Si est croissante et , on a , ce qui prouve la croissance.

• Exemple: , . Ici (croissante) et , donc , la suite est décroissante.

Convergence des Suites Réelles

Définition de la convergence:

Une suite réelle converge vers si et seulement si: \lim u_n = ln \geq n_0[l-\varepsilon, l+\varepsilon]$.

• Exemple: Pour , . En effet

, pour , il faut trouver tel que . On peut prendre .

Suites Divergentes:

Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.

• Les cas de divergence sont:

  1. : .

  2. : .

  3. La suite n'a ni limite finie ni infinie (ex: ).

• Exemple : . Pour , . On peut prendre .

• Exemple : . Pour , . On peut prendre .

Propriétés des Limites:

• Unicité de la limite: Si une suite de nombres réels a une limite, cette limite est unique.

• Convergence Suite bornée: Si une suite converge, alors elle est bornée.

Opérations sur les Limites (pour et ):

1. pour .

2. .

3. .

4. Si et , alors .

5. Si et , alors .

• Limite de la valeur absolue: Si , alors .

  • Preuve utilise l'inégalité triangulaire inversée: .

• Suite nulle: Une suite est dite nulle si elle converge vers $0$.

  • .

  • Exemple: .

Théorèmes Fondamentaux de Convergence

1. Suite monotone bornée:

   • Une suite croissante et majorée converge vers son supremum.

   • Une suite décroissante et minorée converge vers son infimum.

   • Conséquence: Toute suite monotone et bornée est convergente.

• Exemple: La suite converge.

  • Elle est strictement croissante car u_{n+1} - u_n</p></li></ul></li></ul><p></p><p> = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} &gt; 0.

    • Elle est majorée par 1 car .

    • Donc, elle converge.

    Limites et Inégalités

    1. Si une suite convergente a pour suffisamment grand, alors .

    2. Si une suite convergente a pour suffisamment grand, alors .

    3. Conservation des inégalités larges par les limites: Si , , et pour suffisamment grand, alors .

       • Remarque: Les limites ne conservent pas les inégalités strictes. Ex: , mais .

    4. Inégalités et limites infinies:

       • Si et , alors .

       • Si et , alors .

    5. Théorème des Gendarmes (Squeeze Theorem): Si pour suffisamment grand et , alors est convergente et .

       • Exemple: . On utilise , d'où . Comme , la limite est $0$.

    Sous-suites

    Une sous-suite d'une suite est une suite de la forme où est une fonction strictement croissante.

    • Exemples: , , .

    • Propriété fondamentale: Si , alors toute sous-suite converge vers la même limite .

      • Exemple: Si , alors , , etc.

    Critères de Divergence:

    Une suite est divergente si:

    1. Elle a deux sous-suites convergentes avec des limites différentes.

       • Exemple: . et , donc diverge.

    2. Elle est non bornée.

       • Une suite croissante et non majorée diverge vers .

    3. Elle admet une sous-suite divergente.

    • Théorème de Bolzano-Weierstrass: Toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

    Continuité et Limites:

    Si est une suite convergente avec et est une fonction continue en , alors la suite converge et .

    Suites Adjacentes

    Deux suites réelles et sont adjacentes si et seulement si:

    1. est croissante.

    2. est décroissante.

    3. .

    • Exemple: et sont adjacentes.

    Propriétés des suites adjacentes:

    1. Si et sont adjacentes, alors .

       • La suite est décroissante et converge vers $0<span data-latex=", donc " data-type="inline-math"></span>w_n \geq 0$.

    2. Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite . De plus, .