Ondes et optique: Résumé de cours

Généralités sur les Ondes

Uneonde est une perturbation qui se propage dans l'espace, transportant del'énergie sans transport de matière. Les ondes sont des phénomènes fondamentaux en physique et sont omniprésentes dans la nature, allant du son aux ondes lumineuses.

Types d'Ondes

Il existe deux grandes catégories d'ondes :

• Ondes mécaniques (ou matérielles) : Elles nécessitent un milieu matériel pour se propager.

  • Exemples : Son, ultrasons, ondes à lasurface de l'eau, ondes sur une corde, ondes sismiques.

  • La vitesse de propagation des ondes matérielles dépend des propriétés inertielles (masse) et élastiques du milieu. Par exemple, la vitesse du son est de dans l'air, dans l'eau et dans l'aluminium.

  • Sur une corde, la vitesse est donnée par la formule : , où est la tension dans la corde et est la masse linéique.

• Ondes électromagnétiques (OEM) : Elles peuvent se propager dans le vide et dans les milieux matériels.

  • Exemples : Lumière visible, micro-ondes, rayons X, UV, ondes radio.

  • Dans le vide, toutes les OEM se propagent à la vitesse de la lumière .

  • Dans un milieu matériel, leur vitesse est inférieure à et peut dépendre de la fréquence (phénomène de dispersion).

Ondes Transversales et Longitudinales

• Ondes transversales (T) : La direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagationde l'onde.

  • Exemples : Ondes électromagnétiques (lumière), ondes sismiques (de cisaillement), ondes sur une corde de guitare.

• Ondes longitudinales (L): La direction de la perturbation est parallèle à la direction de propagation de l'onde.

  • Exemples : Ondes acoustiques (son), ondes sismiques (de compression), ondes dans une file d'attente.

Cas des ondes sismiques : Les ondes sismiques comprennent à la fois des ondes transversales () et longitudinales (). Ladifférence de vitesse entre ces deux types d'ondes est cruciale pour la sismologie.

Mouvement Harmonique Simple et Oscillateurs

Le mouvement harmonique simple (MHS) est un mouvement périodique et oscillatoire, décrit par une fonction sinusoïdale ou cosinusoïdale.

Force de Rappel et Équation du Mouvement

Pour un système masse-ressort, la force de rappel est proportionnelle au déplacement et s'oppose à celui-ci (Loi deHooke) :

où est la constante de raideur du ressort. En appliquant la deuxième loi de Newton (), on obtient l'équation du mouvement :

Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique simple.

Solution du MHS

La solution générale de cette équation différentielle estde la forme :

où :

• est l'amplitude (déplacement maximal)

• est la pulsation (en )

• est le temps

• est la phase initiale, qui détermine l'instant où le mouvement atteint son amplitude maximale.

Caractéristiques du MHS

• Période (T) : Temps pour effectuer une oscillation complète. Pour un ressort, .

• Fréquence (f) : Nombre d'oscillations par seconde. , mesurée en Hertz ( ou ). Pour un ressort, . C'est la fréquence propre de l'oscillateur.

• Le MHS n'est pas un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) car l'accélération et la force de rappelvarient pendant l'oscillation.

Vitesse et Accélération en MHS

Étant donné :

• Vitesse:

  • Vitesse maximale :

• Accélération :

  • Accélération maximale:

Énergie en MHS

La force de rappel est une force conservative, ce qui permet d'associer une énergie potentielle .

• Énergie potentielle élastique (U) : L'énergie potentielle est donnée par .

• Énergie cinétique (K) : L'énergie cinétique est donnée par .

• Énergie mécanique (E) : L'énergie mécanique totale du système est la somme de l'énergie cinétique et potentielle :

L'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique est conservée si aucune force non conservative n'agit sur lesystème.

• Aux points d'amplitude maximale (), , donc .

• Au point d'équilibre (), , donc .

Ainsi, l'énergie d'un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l'amplitude.

Onde Périodique Sinusoïdale

Une onde périodique sinusoïdale est une perturbation qui se propage de manière répétitive dans l'espace et le temps, dont les variations suivent une fonction sinusoïdale.

Caractéristiques de l'Onde

• Déplacement (y) : Position des particules du milieu ou valeur du champ à un instant donné (en mètres).

• Amplitude (A) : Déplacement maximal de l'onde par rapport à sa position d'équilibre (en mètres).

• Longueur d'onde () : Distance entre deux crêtes (ou creux) successifs de l'onde (en mètres).

• Période (T) : Temps écoulé entre le passage de deux crêtes successivesau même point de l'espace (en secondes).

• Fréquence (f) : Nombre de crêtes (ou cycles) qui passent par un point donné par seconde (en Hz).

• Vitesse de propagation (v) : Vitesse à laquelle l'onde se déplace. Sur une période T, l'onde parcourt une distance .

Représentation Mathématique d'une Onde Sinusoïdale

La perturbation en un point et à un instant peut être exprimée comme :

Cette expression peut être réécrite comme :

où :

• est la pulsation angulaire (en ou )

• est le nombre d'onde (en ou )

La relation entre pulsation et nombre d'onde est donnée par : .

Principe de Superposition et Phénomènes Associés

Principe de Superposition

Lorsque deux ondes ou plus se rencontrent en un point donné à un instant donné, l'amplitude résultante de l'onde est la somme des amplitudes des ondes individuelles. Ce principe permet d'expliquer divers phénomènes, tels que les interférences et les ondes stationnaires. Si deux impulsions se croisent, elles poursuivent leur chemin comme si aucune rencontre ne s'était produite.

Réflexion d'une Onde sur une Corde

Lorsqu'une onde atteint l'extrémité d'une corde, elle est réfléchie. Le comportement de l'onde réfléchie dépend de la nature de l'extrémité :

• Extrémitéfixe : L'onde est réfléchie et inversée (phase opposée).

• Extrémité libre : L'onde est réfléchie et non inversée (même phase).

Interférences

Les interférences résultent de la superposition de deux ondes ou plus. Selon la phase relative des ondes, l'interférence peut être :

• Interférence constructive : Les ondes sont en phase, leurs amplitudes s'additionnent,résultant en une amplitude maximale (ventre).

• Interférence destructive : Les ondes sont en opposition de phase, leurs amplitudes s'annulent, résultant en une amplitude minimale (nœud).

Exemple de deux ondes se propageant en sens opposé : Soient deux ondes et . Leur superposition donne . En utilisant l'identité trigonométrique , on obtient :

Ondes Stationnaires

Les ondes stationnaires sont formées par la superposition d'une ondeincidente et d'une onde réfléchie se propageant en sens opposés dans un milieu confiné. Elles donnent l'impression d'être immobiles, avec des points fixes appelés nœuds (amplitude nulle) et des points de vibration maximale appelés ventres.

L'équation d'une onde stationnaire est .

• Ondes stationnaires sur une corde fixée aux deux extrémités : Les conditions limites imposent que et (où est la longueur de la corde).

  • Cela implique que doit être un multiple de aux extrémités. Les longueurs d'onde possibles sont : , où (n est le numéro de l'harmonique).

  • Les fréquences des harmoniques sont : , où est la vitesse de l'onde sur la corde.

  • Le premier harmonique () est appelé la fréquence fondamentale.

• Applications : Les ondes stationnaires se retrouvent dans les instruments de musique (cordes vibrantes, tuyaux d'orgue), mais aussi en 2D et 3D (ondes stationnaires sonores, etc.).

Battements

Les battements sont une variation périodique de l'amplitude résultant de la superposition de deux ondes de fréquences légèrement différentes.

• Soient deux ondes et .

• Leur superposition donne : .

• L'amplitude de l'onde résultante varie à la fréquence .

• Lafréquence de battement, c'est-à-dire le nombre de maxima d'amplitude par seconde, est donnée par .

Effet Doppler

L'effet Doppler est lavariation de la fréquence perçue d'une onde lorsqu'il y a un mouvement relatif entre la source de l'onde et l'observateur.

• Si la source s'approche, la fréquence perçue est plus élevée (le son est plus aigu).

• Si la source s'éloigne, la fréquence perçue est plus basse (le son est plus grave).

Le tableau suivant résume les formules pour les fréquences perçues () :

où est la vitesse de l'onde, estla vitesse de l'observateur et est la vitesse de la source.

Application : les débitmètres sanguins utilisent l'effet Doppler des ultrasons pour mesurer la vitesse de circulation des globules rouges.

Ondes Balistiques

Une onde balistique (ou onde de choc) se produit lorsque la vitesse de la source () est supérieure à la vitesse de l'onde () dans le milieu : . Le nombre de Mach est défini comme le rapport . Un corps se déplaçant à Mach 1 signifie que sa vitesse est égale à celle du son. Exemple : Le choc sonore d'un avion supersonique.

Optique : Propagation de la Lumière

L'optique est l'étude de la lumière et de ses interactions avec la matière. La lumière est une onde électromagnétique dont les composantes de champ électrique () et magnétique () sont orthogonales et oscillent en phase.

La vitesse de la lumière dans le vide est .

Phénomènes de Propagation

Les principaux phénomènes qui modifient la propagation des ondes lumineuses sont :

• Réflexion : La lumière rebondit sur une surface.

• Réfraction : La lumière change de direction en traversant un milieu à un autre.

• Diffraction : La lumière contourne des obstacles ou s'étend après être passée par une ouverture.

Principe de Huygens

Proposé par Christian Huygens, ce principe établit que :

• Chaque point d'un front d'onde (surface où les ondes vibrent en phase) peut être considéré comme la source d'une nouvelle ondelette sphérique.

• Le front d'onde à un instant ultérieur est l'enveloppe (surface tangente) de toutes ces ondelettes sphériques.

• Les rayons lumineux sont des lignes perpendiculaires aux fronts d'onde, indiquant la direction de propagation.

Lumière à l'Interface entre Deux Milieux

Lorsqu'un faisceau lumineux atteint la limite entre deux milieux :

• Une partie est réfléchie.

• Une partie est transmise (réfractée).

• Le reste est absorbé.

Réflexion

• Réflexion spéculaire : Se produit sur des surfaces lisses, où les rayons réfléchis sont parallèles entre eux. Elle est régie par la Loi de la Réflexion : , où est l'angle d'incidence et est l'angle de réflexion (mesurés par rapport à la normale à la surface).

• Réflexion diffuse : Se produit sur des surfaces rugueuses, où les rayons réfléchissont dispersés dans différentes directions.

• Exemples d'application: Catadioptres et dispositifs rétroréfléchissants qui utilisent des microbilles de verre pour réfléchir la lumière vers sa source.

Réfraction etIndice de Réfraction

La vitesse de la lumière dans un milieu matériel () est inférieure à sa vitesse dans le vide (). L'indice de réfraction (n) d'un milieu est défini par :

Plus l'indice est élevé, plus le milieu est réfringent et plus la lumière y ralentit.

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

où et sont les indices de réfraction des deux milieux, est l'angle d'incidence, et est l'angle de réfraction.

• Si (passage d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent), le rayon se rapproche de la normale ().

• Si (passaged'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent), le rayon s'écarte de la normale ().

Mirages optiques : Ils sont dus à lavariation de l'indice de réfraction de l'air avec la température. L'air chaud, moins dense, a un indice de réfraction plus faible que l'air froid, ce qui courbe les rayons lumineux et crée l'illusion d'une surface réfléchissante.

Dispersion

La dispersion est le phénomène par lequel l'indice de réfraction d'un milieu dépend de la longueur d'onde de la lumière. Cela signifie que différentes couleurs de lumière (ayant des longueurs d'onde différentes) se réfractent différemment.

• Dans un milieu dispersif, , ce qui implique .

• Ceci explique la séparation de la lumière blanche en spectre de couleurs lors de son passage à travers un prisme ou laformation des arcs-en-ciel.

Réflexion Totale Interne

Lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent () à un milieu moins réfringent (, avec ), si l'angle d'incidence est supérieur à un certain angle critique (), la lumière n'est plus réfractée mais entièrement réfléchie à l'intérieur du premier milieu. L'angle critique est donné par : .

• Avantage : Contrairement à la réflexion spéculaire, la réflexion totale ne subit aucune perte d'intensité.

• Applications : Prismas à réflexion totale (jumelles, périscopes) et fibres optiques.

Fibres optiques : Elles utilisent la réflexion totale interne pour guider la lumière sur de longues distances sans perte significative, ce qui les rend essentielles pour les télécommunications et les endoscopes (transmission d'images médicales).

Interférences et Diffraction

Ces phénomènes démontrent la nature ondulatoire de la lumière.

Fentes de Young

L'expérience des fentes de Young, réalisée par Thomas Young, a misen évidence le phénomène d'interférence lumineuse.

• Une lumière monochromatique et cohérente traverse deux fentes fines.

• Sur un écran, on observe une série de franges brillantes (interférence constructive) et de franges sombres (interférence destructive), appelées franges d'interférence.

• Ceci prouve la nature ondulatoire de la lumière, car si la lumière était composée uniquement de particules classiques, on observerait seulement deux lignes brillantes sur l'écran.

Pour 2 sources ponctuelles et émettant en phase et créant une interférence en un point :

• Interférence constructive si la différence de marche (où et sont les distances des sources à ) est un multiple entier de la longueur d'onde : , avec .

• Interférence destructive si la différence de marche est un multiple impair de la demi-longueur d'onde : , avec .

Dans l'approximation des fentes de Young (, où est la distance à l'écran et la distance entre les fentes), la différence de marche .

• Positions des franges brillantes (constructives) sur l'écran : .

Réseaux de Diffraction

Un réseau de diffraction est un dispositif optique comportant de nombreuses fentes parallèles et équidistantes. Il produit des schémas d'interférence plus nets et plus intenses que les fentes de Young.

• Interférence constructive si , où est la distance entre les fentes du réseau.

• Avec une lumière polychromatique, chaque longueur d'onde se diffracte à un angle légèrement différent, ce qui permet de séparer les couleurs (comme dans un prisme).

• Applications : Les sillons d'un CD ou DVD agissent comme un réseau de diffraction par réflexion, produisant des irisations colorées.

Diffraction par une Fente Unique

Même une seulefente de taille comparable à la longueur d'onde de la lumière produit des effets de diffraction.

• L'onde s'étale après être passée par la fente, et les points de la fente agissent comme des sources d'ondelettes de Huygens qui interfèrent entre elles.

• On observe un motif de bandes lumineuses et sombres, avec une large bande centrale brillante et des bandes latérales moins intenses.

• Les positions des minima (interférence destructive) sont données par : , avec , où est la largeur de la fente.

Polarisation de la Lumière

La lumière est une onde électromagnétique transversale, ce qui signifie que le champ électrique () et le champmagnétique () oscillent perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde.

• Lumière non polarisée : Dans la lumière naturelle (émise par la plupart des sources), la direction d'oscillation du champ électrique variealéatoirement dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation.

• Lumière polarisée linéairement : Le champ électrique oscille dans un seul plan, appelé plan de polarisation.

Mécanismes de Polarisation

• Polarisation par adsorption sélective : Certains matériaux (comme le film Polaroid) absorbent les composantes du champ électrique qui oscillent dans une certaine direction et transmettent celles qui oscillent perpendiculairement. Un polariseurréduit l'intensité de la lumière non polarisée de moitié ().

• Loi de Malus : Lorsqu'une lumière polarisée passe à travers un second polariseur (appelé analyseur), l'intensité transmise dépend de l'angle entre l'axe de polarisation de la lumière incidente et l'axe de transmission de l'analyseur : .

• Applications : Verres de lunettes de soleil polarisantes (réduisent l'éblouissement), écrans LCD, filtres photographiques.

Optique Géométrique - Instruments Optiques

L'optique géométrique traite de la lumière en termesde rayons lumineux, négligeant les effets ondulatoires comme la diffraction et l'interférence. Elle est utilisée pour concevoir des instruments optiques combinant miroirs et lentilles.

Les Miroirs

Les miroirs reflètent la lumière selon la loi de la réflexion.Ils peuvent être :

• Plans : Forment des images virtuelles, droites et de même taille que l'objet.

• Sphériques :

  • Concaves :Peuvent former des images réelles ou virtuelles, agrandies ou réduites, selon la position de l'objet.

  • Convexes : Forment toujours des images virtuelles, droites et réduites.

Miroir et inversion gauche/droite : Un miroir n'inverse pas le côté gauche et droit, mais plutôt l'avant et l'arrière (inversion de la profondeur). L'illusion d'une inversion latérale découle de la façon dont nous essayons de superposer l'image réfléchie à l'objet réel.

Les Lentilles Minces Sphériques

Les lentilles réfractent la lumière. Elles sont classées en deux catégories principales :

• Lentilles convergentes (possèdent une distance focale ) : Elles concentrent les rayons lumineux parallèles en un point appelé foyer image ().

  • Exemples : Biconvexes, plan-convexes, ménisques convergents.

• Lentilles divergentes (possèdent une distance focale ) : Elles dispersent les rayons lumineux parallèles, qui semblent provenir d'un point appelé foyer image ().

  • Exemples : Biconcaves, plan-concaves, ménisques divergents.

Formule des opticiens(pour une lentille mince dans l'air, d'indice ) :

où et sont les rayons de courbure des surfaces de la lentille. Les signes de et dépendent de la convexité ou concavité des surfaces.

Tracé des Rayons et Formation d'Image

Pour une lentille convergente, quatre rayons principaux sont utilisés pour localiser l'image :

1. Un rayon parallèle à l'axe optique passe par après réfraction.

2. Un rayon passant par (foyer objet) ressort parallèle à l'axe optique.

3. Un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié.

Conventions de Signe

Pour l'applicationdes formules des lentilles, des conventions de signe strictes sont utilisées :

• Image réelle : Formée par la rencontre de rayons lumineux réels, peut être projetée sur un écran.

• Image virtuelle : Les rayons semblent provenir d'elle, ne peut pas être projetée sur un écran.

• La lumière se propagede gauche à droite.

Formule des lentilles minces

où est la distance objet, la distance image et la distance focale.

Facteur de Grandissement Linéaire (m)

Il indique le rapport entre la taille de l'image () et la taille de l'objet (), ainsi que sonorientation.

Un indique une image inversée.

Puissance des Lentilles (P)

La puissance d'une lentille est l'inverse de sa distance focale.

L'unité est la dioptrie (, en ).

• Plusla puissance est élevée, plus la lentille réfracte fortement les rayons lumineux.

• Lentille convergente : .

• Lentille divergente : .

L'Œil

L'œil est un système optique complexe.

• Punctum remotum : La distance la plus éloignée à laquelle l'œil peut accommoder (mise au point), idéalement à l'infini.

• Punctum proximum (ou optimum) : La distance la plus courte à laquelle l'œil peut accommoder (environ 25 cm pour un œil jeune).

Défauts de Vision

• Hypermétropie : L'image se forme derrière la rétine. Corrigée par des lentilles convergentes.

• Myopie : L'image se forme devant la rétine. Corrigée par des lentilles divergentes.

La Loupe

Une loupe est une lentille convergente utilisée pour grossir des objets de petite taille. Pour obtenir une image à l'infini (situation la plus confortable pour l'œil), l'objet doitêtre placé au foyer objet de la loupe (). Le grossissement () d'une loupe est défini comme le rapport de l'angle sous-tendu par l'image à l'œil () sur l'angle sous-tendu par l'objet àl'œil nu à 25 cm ().

Le Microscope

Un microscope est un instrument optique composé de deux lentilles convergentes principales :

• Objectif : Forme une première image réelle et agrandie de l'objet.

  • Grandissement de l'objectif : où est la distance entre les foyers arrière de l'objectif et avant de l'oculaire (longueur optique du tube).

• Oculaire : Fonctionne comme une loupepour grossir l'image intermédiaire formée par l'objectif.

  • Grossissement de l'oculaire : .

• Grossissement total dumicroscope : .