Geometric Brownian Motion Properties

Voici un résumé des définitions importantes du cours, formaté comme une aide-mémoire.

Définitions Importantes

Ce document récapitule les définitions fondamentales en probabilités et processus stochastiques, particulièrement dans le cadre de la théorie des martingales et du modèle de Black-Scholes.

0.1 Introduction à la Probabilité

• Variable Aléatoire (VA): Une fonction telle que pour tout . Elle permet de transporter des structures probabilistes.

• -algèbre générée par : . C'est la plus petite -algèbre rendant mesurable.

• Fonction indicatrice: Pour , et $0x \in A^cA \in \mathcal{A} est mesurable.

• Loi d'une VA: Pour une VA , la loi est une mesure de probabilité sur définie par .

• Moment d'ordre : Une VA a un moment d'ordre si .

  • .

  • . L'espace est complet.

• Distribution Gaussienne: si a une densité . Propriété : Possède des moments de tous ordres (ex: ).

• Fonction Caractéristique: caractérise la distribution de .

• Fonction de Répartition: caractérise la distribution de (en dimension 1).

0.2 Notion d'Indépendance

• Événements Indépendants: sont indépendants si . Notation : .

• Collection d'Événements Indépendants: est une collection indépendante si pour tout . Attention : L'indépendance mutuelle est plus forte que l'indépendance par paires.

• -algèbres Indépendantes: sont indépendantes si pour tout .

• Variables Aléatoires Indépendantes: sont indépendantes si les -algèbres générées sont indépendantes. Conditions équivalentes pour l'indépendance de :

  • pour

• Propriétés des VA indépendantes: Si :

  • (implique une corrélation nulle, mais la réciproque est fausse en général).

• Densité et Indépendance: Si a une densité, alors ssi la densité du couple est le produit des densités marginales.

0.2.4 Convergence des Variables Aléatoires

• Convergence Presque Sûre (): si . C'est le seul type de convergence avec une stabilité algébrique usuelle.

• Convergence en (): si pour .

• Convergence en Probabilité (): si , pour .

• Convergence en Distribution (): si , pour .

Relations entre les convergences :

• (par inégalité de Tchebychev)

• Si , (par inégalité de Hölder)

• Les implications inverses sont généralement fausses.

Autres résultats de convergence :

• Famille Uniformément Intégrable (U.I): est U.I si pour .

• Si et est U.I, alors et .

• Si , il existe une sous-suite .

• Si (constante), alors .

Théorèmes importants :

• Loi Forte des Grands Nombres (LFGN) - SLLN: Si est une suite de VA i.i.d. et , alors .

• Théorème Central Limite (TCL) - CLT: Si est une suite de VA i.i.d. avec et , alors . Donne la vitesse de convergence de la LFGN.

0.3 Vecteurs Gaussiens

• Vecteur Gaussien: Un vecteur aléatoire est Gaussien si pour tout , la VA réelle $$ est Gaussienne.

• Description: La loi d'un vecteur Gaussien est entièrement décrite par son vecteur moyenne et sa matrice de covariance . On note alors .

• Fonction Caractéristique: .

• Indépendance et Covariance: Si est un vecteur Gaussien, alors . Ceci est une particularité des variables Gaussiennes.

• Densité: Si est non singulière, la densité est .

0.4 Espérance Conditionnelle

Intuition : L'espérance conditionnelle est la meilleure approximation de par des fonctions de .

• Conditionnement par des événements: Pour avec :

  • si .

• Conditionnement par une VA discrète: Pour une VA discrète prenant des valeurs avec :

  • où .

  • où .

  C'est une variable aléatoire.

• Conditionnement par une -algèbre: Pour et une sous--algèbre de , est la VA telle que:

  • est -mesurable.

  • pour toute VA -mesurable et bornée.

  C'est l'opérateur de projection orthogonale de sur .

• Conditionnement par une VA générale (): est défini comme . Il est de la forme .

• Densité Conditionnelle: Si a une densité , alors (si ). Alors avec .

• Propriétés de l'Espérance Conditionnelle:

  • (positivité)

  • (linéarité)

  • (monotonie)

  • Si est -mesurable, .

  • Sortir ce qui est connu: Si est -mesurable et bornée, .

  • Rôle de l'indépendance: Si , .

  • Propriété de la Tour: Si , .

  • Inégalité de Jensen: Si est convexe et , alors . L'espérance conditionnelle est un opérateur contractant sur les espaces .

  • Si et est -mesurable, pour borélienne bornée, où .

• Espérance conditionnelle pour les vecteurs Gaussiens: Si est un vecteur Gaussien, alors pour des constantes . Ceci est une projection linéaire.

0.5 Processus Stochastiques

• Processus Stochastique: Une collection de VA sur (où est l'ensemble d'indices de temps) avec valeurs dans un espace (souvent ).

  • Fixe est une VA (état du système).

  • Fixe est une trajectoire (ou chemin échantillon).

• Équidistribués: et sont équidistribués si , . Mêmes distributions fini-dimensionnelles.

• Version d'un Processus: est une version de si , . Aussi dits stochastiquement équivalents. Si les processus sont continus à droite, être une version implique être indistinguables.

• Indistinguables: et sont indistinguables si . Relation la plus forte. Implique être des versions.

• Trajectoires régulières: Processus est continu (ou monotone, ou Càdlàg) si l'est pour -presque tout .

• Processus Mesurable: La fonction est mesurable par rapport à .

• .

0.5.2 Filtrations, Processus Adaptés

• Filtration: Une collection non-décroissante de sous--algèbres de . Représente l'information disponible au temps .

• Filtration Complète: Si , , où est l'ensemble des ensembles négligeables.

• Processus Adapté: est adapté à si est -mesurable pour tout . Un processus est toujours adapté à sa filtration naturelle .

• Processus Progressivement Mesurable: est progressivement mesurable si , la fonction sur est mesurable. Un processus progressivement mesurable est mesurable et adapté.

• : Espace des processus progressivement mesurables tels que . C'est un espace de Hilbert complet, et les processus "simples" y sont denses.

0.5.3 Processus Gaussiens

• Processus Gaussien: est Gaussien si , le vecteur aléatoire est Gaussien. Entièrement décrit par sa fonction moyenne et sa fonction de covariance .

0.5.4 Martingales en Temps Continu

est un processus adapté, à valeurs dans .

• Martingale: pour tout . Propriété : pour tout . Si , est une martingale.

• Supermartingale: pour tout .

• Sousmartingale: pour tout .

• Martingale de carré intégrable: A une propriété d'accroissements orthogonaux: pour .

• Inégalité de Doob: Pour une martingale de carré intégrable à chemins continus , .

• : Espace des martingales de carré intégrable à trajectoires continues. C'est un espace de Hilbert avec la norme .

0.6 Théorème de Radon-Nikodym

• Mesures absolument continues (): pour tout .

• Mesures équivalentes (): pour tout .

• Mesures singulières (): Il existe tel que et .

• Théorème de Radon-Nikodym: Si , alors il existe une VA -intégrable unique (à -p.s. égalité près) telle que et pour tout . est la dérivée de Radon-Nikodym . Si , alors -p.s.

1 Mouvement Brownien

1.2 Définition, existence, simulation

• Mouvement Brownien Standard (MB): Processus stochastique tel que:

  • -p.s.

  • est continu ( est continue pour -presque tout ).

  • a des accroissements indépendants: est indépendant de pour .

  • Les accroissements de sont stationnaires et gaussiens: pour .

• Caractérisation par les processus Gaussiens: Un processus stochastique est un MB ssi c'est un processus Gaussien continu et centré avec une fonction de covariance .

• Simulation (Lévy): Méthode de construction intuitive basée sur l'idée que où est une VA normale standard indépendante de .

• Principe d'invariance de Donsker: Extension fonctionnelle du TCL, montre que l'interpolation linéaire de sommes partielles renormalisées d'une suite de VA i.i.d. centrées et de variance 1 converge en loi vers un MB dans l'espace des fonctions continues.

1.3 Propriétés

• Propriétés Martingale du MB:

  • est une martingale.

  • est une martingale.

  • est une martingale (pour ).

• Critères de Lévy pour le MB: Un processus continu partant de 0 est un MB ssi :

  • est une martingale, OU

  • est une martingale pour tout .

• Transformations du MB: , , , et sont aussi des MB. Propriété de mise à l'échelle ou d'auto-similarité.

• Régularité des trajectoires:

  • Les trajectoires du MB sont continues -p.s.

  • Elles ne sont nulle part différentiables -p.s. (ex: ).

  • Elles ne sont monotones sur aucun intervalle -p.s.

• Variation et Variation Quadratique:

  • Variation quadratique: . C'est une propriété fondamentale du MB.

  • Variation totale: . Les trajectoires du MB sont de variation infinie sur tout intervalle.

• Propriété de Markov: . La loi future dépend seulement de l'état présent.

• Mouvement Brownien Géométrique (MBG): . C'est un processus log-normal. Utilisé pour modéliser les prix d'actifs financiers. Toujours non-négatif.

• Intégrale de Wiener: Pour , . C'est une VA Gaussienne centrée de variance . Principale propriété: Pour , (intégration par parties "classique").

• Formule d'Itô pour le MB: Pour , . Écriture différentielle: . Le terme est le terme de correction d'Itô, dû à la variation quadratique du MB.

• Processus d'Ornstein-Uhlenbeck: Solution de , ou . Décrit par . Utilisé pour modéliser des vitesses, notamment dans la description du mouvement Brownien par Langevin.

2 Intégrale Stochastique, Processus d'Itô

Travaille sur un espace avec une filtration Brownienne .

• Intégrale Stochastique pour un intégrand élémentaire: Pour avec , . Celle-ci n'est généralement plus Gaussienne.

• Propriétés de l'intégrale stochastique (pour intégrands élémentaires):

  • Linéaire et continue.

  • Adaptée.

  • .

  • . Ceci est une isométrie entre .

  • Est une martingale continue de carré intégrable.

• Extension aux intégrands dans : L'intégrale est définie par approximation d'intégrands élémentaires, grâce à la densité de dans et l'isométrie. Le résultat est une martingale continue.

• Processus d'Itô: Processus continu et adapté de la forme , où . Notation différentielle: . La décomposition est unique.

• Martingale Processus d'Itô: Un processus d'Itô est une martingale ssi la partie est nulle ().

• Intégrale stochastique par rapport à un processus d'Itô: Pour prog. mesurable, .

• Formule d'Itô (généralisée): Pour un processus d'Itô et : $f(X_t) = f(X_0) + \int_0^t f'(X_s) dX_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(X_s) \phi_s^2 ds." data-type="inline-math"></span>$ Si est aussi dépendante du temps , il y a un terme supplémentaire .

2.4 Calcul d'Itô Étendu

• Espaces : Relaxent les conditions d'intégrabilité.

  • .

  • .

  Permet d'intégrer des intégrandes moins réguliers, mais l'intégrale stochastique n'est plus forcément une martingale (devient une martingale locale).

• Processus d'Itô Généralisé: Même forme que l'Itô standard, mais et .

• Formule d'Itô étendue: S'applique avec ces conditions d'intégrabilité plus faibles sur .

• Formule d'intégration par parties: Pour deux processus d'Itô: . Le terme est une correction par rapport au calcul différentiel classique.

2.5 Équations Différentielles Stochastiques (EDS)

• EDS: avec .

• Solution d'une EDS: Processus continu, adapté, tel que les intégrales soient bien définies et l'équation soit satisfaite.

• Existence et unicité: Si sont Lipschitz en et bornés en (Lipschitz-condition de croissance), et , alors il existe une solution unique.

• Propriété de Markov des solutions d'EDS: Les solutions d'EDS sont des processus de Markov. Si les coefficients ne dépendent pas du temps, la propriété de Markov est homogène.

• Schéma d'Euler Stochastique: Méthode d'approximation numérique des solutions d'EDS, similaire à Euler pour les EDO.

3 Deux Résultats Fondamentaux

3.1 Théorème de Girsanov

• Processus sous : Mouvement Brownien sous avec une dérive. Ex: . L'objectif est de trouver une probabilité sous laquelle est un MB standard.

• Changement de Mesure: Sous une probabilité définie par où , le processus est un MB standard. est la martingale exponentielle ou martingale de Girsanov. C'est une super-martingale non-négative toujours, une martingale ssi .

• Critère de Novikov: Le processus est une martingale si .

3.2 Théorème de Représentation des Martingales

• Théorème de Représentation d'Itô: Pour tout , il existe un unique tel que .

• Théorème de Représentation des Martingales: Toute martingale continue de carré intégrable (par rapport à la filtration brownienne) a une représentation unique: . Ce théorème est fondamental pour la complétude des marchés financiers.

4 Applications aux marchés financiers (cadre général)

4.2 Modélisation des marchés financiers en temps continu

• Actif non risqué (): Son évolution est déterministe avec un taux d'intérêt . .

• Actif risqué (): Son évolution est stochastique, souvent modélisée par un processus d'Itô. Son prix est adapté à sa filtration naturelle.

• Processus Actualisé (): (valeur divisée par le facteur de capitalisation de l'actif sans risque).

• Stratégie Financière (): Un processus progressivement mesurable où est la quantité d'actif non risqué et la quantité d'actif risqué.

• Valeur du portefeuille (): .

• Stratégie Auto-financée: . Les changements de valeur du portefeuille proviennent uniquement des changements de prix des actifs, sans apport ou retrait externe. Condition équivalente sur les processus actualisés: .

• Opportunité d'Arbitrage (OA): Une stratégie autofinancée avec , P-p.s. et . Partir de zéro et réaliser un profit sans risque.

• Mesure de Martingale Équivalente (MME ou EMM) : Une mesure de probabilité équivalente à sous laquelle le prix actualisé de l'actif risqué est une martingale. Lien profond avec l'absence d'opportunités d'arbitrage (NAO).

• Stratégie -admissible: Stratégie auto-financée dont la valeur actualisée du portefeuille est une martingale de carré intégrable sous . Implique l'Absence d'Opportunités d'Arbitrage (NAO) pour ces stratégies.

• Produits Dérivés (Contingent Claims ): Actifs dont les prix dépendent d'autres actifs. Souvent une VA -mesurable. Ex: Call européen .

5 Modèle de Black-Scholes

5.1 Le Modèle

• Dynamique du prix de l'actif risqué: avec . La solution est le MBG .

  • : dérive

  • : volatilité (mesure la sensibilité au risque).

• Hypothèses sous-jacentes: Continuité des trajectoires, stationnarité des rendements.

• Existence d'une EMM: Dans le modèle de Black-Scholes, il existe une EMM unique , appelée probabilité neutre au risque. Sous , la dynamique de l'actif risqué devient où est un MB standard sous .

5.2 Stratégies Financières -Admissibles

• Complétude du marché: Le modèle de Black-Scholes est -complet, c'est-à-dire que tous les produits dérivés (non-négatifs dans ) sont -atteignables.

• Valeur d'un portefeuille de couverture: Pour un produit dérivé , la valeur au temps est . Elle est de la forme .

5.4 Prix et Couverture

• Prix du produit dérivé (): La valeur au temps d'un portefeuille de couverture associé à une stratégie -admissible (qui existe et est unique). . C'est un processus de martingale sous .

• Stratégie de Couverture: Construire un portefeuille qui réplique le payoff du produit dérivé. Dans le modèle de Black-Scholes, cette stratégie est unique et assure une élimination parfaite du risque en théorie continue.

• Cas ("path-independent"): Le prix est .

• Quantité d'actif risqué pour la couverture: (connue sous le nom de Delta).

• Équation de Black-Scholes: satisfait l'EDP: avec condition finale . Permet de calculer les prix par méthodes probabilistes (Monte Carlo) ou numériques (discrétisation d'EDP).

5.6 Formule de Black et Scholes

• Prix d'un Call Européen: où est la fonction de répartition de , et sont des fonctions spécifiques des paramètres.

• Parité Call-Put: .

• Prix d'un Put Européen: .

5.7 Les Grecques

Mesurent la sensibilité du prix des options aux paramètres.

• Delta (): . Mesure la sensibilité du prix au sous-jacent. C'est aussi la quantité d'actif risqué pour la couverture. Pour un Call: . Pour un Put: .

• Gamma (): . Mesure la sensibilité du Delta au sous-jacent. Indique la fréquence de rééquilibrage nécessaire pour une position delta-neutre. Important pour les coûts de transaction dans la pratique.

• Theta (): . Sensibilité au temps.

• Rho (): . Sensibilité au taux d'intérêt.

• Vega: . Sensibilité à la volatilité (n'est pas une lettre grecque).

• L'EDP de Black-Scholes peut se réécrire avec les grecques: .

5.8 Black et Scholes en pratique

• Estimation de la volatilité ():

  • Par données historiques (variance empirique des log-rendements).

  • Par volatilité implicite, en inversant la formule de Black-Scholes à partir des prix observés sur le marché. La volatilité implicite est souvent différente de l'historique et varie selon le strike et la maturité ("smile de volatilité").

• Couverture: Dans la pratique, le rééquilibrage du portefeuille (delta hedging) se fait en temps discret, introduisant des risques. La connaissance du Gamma est cruciale pour évaluer ces risques.

• Calcul numérique des prix et des grecques: Utilisation de méthodes de Monte Carlo pour les payoffs complexes, ou différences finies sur les fonctions .

5.9 "Splendeurs et misères" du modèle de Black Scholes

• Avantages: Simplicité, efficacité théorique, connaissance facile des prix et stratégies de couverture pour les produits simples, double approche (EDP/probabiliste).

• Limites:

  • Hypothèses irréalistes (coûts de transaction nuls, volatilité constante, distribution log-normale des prix).

  • Le "smile de volatilité" empirique contredit l'hypothèse de volatilité constante.

  • La log-normalité ne capture pas les événements extrêmes ("fat tails") observés dans les marchés réels.

• Robustesse de la formule: Malgré ses limites, le modèle reste largement utilisé. Il peut être montré que si la volatilité constante utilisée est supérieure à la volatilité réelle (stochastique), l'erreur de couverture tend à être positive, protégeant ainsi le vendeur de l'option.