Fonction exponentielle et primitives

Fiche de résolution : Étude de la fonction

Cette fiche détaille la résolution de l'exercice sur la fonction définie sur .

1. Limite en et Interprétation

• Calcul de la limite : On cherche .

• On développe : .

• On utilise les limites de référence (croissances comparées) :

• Résultat : .

• Interprétation graphique : La droite d'équation (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe (C) au voisinage de .

2. Calcul de la dérivée

• La fonction est un produit avec :

• Formule de dérivation d'un produit : .

• Calcul :
  
  
  

3. Étude des variations de

• On étudie le signe de .

• L'exponentielle est toujours strictement positive. Le signe de ne dépend donc que du signe de .

• Signe de :

  • . Donc sur .

  • . Donc sur .

  • . Donc .

• Conclusion :

  • La fonction est strictement croissante sur .

  • La fonction est strictement décroissante sur .

4. Tableau de variation de

• Valeur au maximum : .

• Valeur à la borne : . (C'est une limite à gauche).

5. Solution de sur

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :Si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel compris entre et , l'équation admet une unique solution.

• Continuité : est continue sur car elle est dérivable.

• Monotonie : est strictement décroissante sur .

• Encadrement : et .

• Conclusion : Comme est bien compris entre et , l'équation admet une solution unique sur l'intervalle .

6. Valeur de et Signe de

• a) Calcul de : .

• Puisque et que la solution est unique, on en déduit que .

• b) Signe de : Comme , le signe de est le même que celui de .

  • Si , alors .

  • Si , alors .

  • Si , alors .

7. Points Clés pour Tracer la Courbe

• Asymptote horizontale : en .

• Maximum local : Point , soit environ . La tangente y est horizontale.

• Intersection avec l'axe des abscisses : Point .

• Point d'intersection avec l'axe des ordonnées : . Point .

• Comportement à la borne 4 : La courbe "s'arrête" en en plongeant vers ().