Chapitre 4: Probabilités conditionnelles

Chapitre 4 : Probabilités

Ce chapitre aborde les concepts fondamentaux de la probabilité, en se concentrant sur les probabilités conditionnelles, les arbres pondérés et la formule des probabilités totales.

1. Probabilité Conditionnelle

• Définition : Soient et deux événements avec . La probabilité que l'événement se réalise sachant que l'événement est réalisé est notée .

• Formule :

• Interprétation : C'est la probabilité de étant donné , réduisant l'univers des possibles à l'événement .

• Exemple d'application (Tableau des occupations) :

  • On choisit un élève au hasard.

  • Tableau :

    	Télévision	Internet	Total
    Filles	8	3	11
    Garçons	15
    Total	23	10	33

  • Si = "l'élève est une fille" et = "l'élève préfère la télévision".

  • Calcul de :

  • Calcul de :

  • Calcul de : (8 filles regardent la télévision)

  • Question : Quelle est la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'elle préfère regarder la télévision ?

2. Arbres Pondérés

• Utilité : Les arbres pondérés sont des outils visuels pour représenter des suites d'événements et leurs probabilités.

• Structure :

  • Les branches représentent les événements possibles.

  • Les pondérations sur les branches sont les probabilités conditionnelles.

  • La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.

  • Le produit des probabilités le long d'un chemin donne la probabilité de l'intersection des événements de ce chemin.

• Exemple (Séries et Version Originale) :

  • : "l'élève regarde principalement des séries"

  • : "l'élève regarde son programme en version originale"

  • Données :

    • 40% regardent des séries

    • 30% des élèves regardant des séries préfèrent la VO

    • 70% des autres (non-séries) préfèrent la VO

  • Représentation avec un arbre pondéré :

    • Première bifurcation : () et ()

    • Branches de : () et ()

    • Branches de : () et ()

  • Calcul de : (12% des élèves regardent des séries en VO)

3. Formule des Probabilités Totales

• Principe : Permet de calculer la probabilité d'un événement en décomposant l'univers en un système complet d'événements.

• Formule : Si forment un système complet d'événements (partitions l'univers, sont disjoints et de probabilité non nulle), alors pour tout événement : Ou en utilisant les probabilités conditionnelles :

• Application avec l'exemple (P(O)) :

  • et forment un système complet d'événements.

  • Calcul de :

• Calcul de probabilité conditionnelle inverse (Formule de Bayes implicite) :

  • Question : En déduire la probabilité que l'élève regarde principalement des séries sachant qu'il regarde son programme en version originale (), sachant que l'on nous donne (valeur potentiellement différente de l'exemple initial pour illustrer un autre calcul).

  • On utilise la définition de la probabilité conditionnelle :

  • Avec (calculé précédemment) et (donné pour cette partie de l'exemple).

  • Calcul :

4. Indépendance d'Événements

• Définition : Deux événements et sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

• Critères d'indépendance :

  • (Si )

  • (Si )

  • Le plus souvent utilisé :

• Important :

  • Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles (disjoints, ).

  • Si et sont indépendants, alors et sont indépendants, et sont indépendants, et et sont indépendants.

• Expériences indépendantes : Se dit lorsque les résultats d'une expérience n'influencent pas les résultats d'une autre expérience. Les preuves sont dites répétées à l'identique et n'influencent pas l'une l'autre.

Récapitulatif des points clés :

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de sachant . Formule : .

• Arbres pondérés : Visualisation des probabilités séquentielles. Les produits le long des chemins donnent .

• Formule des probabilités totales : quand forment une partition.

• Indépendance : et sont indépendants si .