Variations et évolutions successives

Variations et Évolutions

Comprendre comment une quantité change est fondamental pour analyser son évolution. Que ce soit une augmentation ou une diminution, le calcul de la variation absolue et relative permet de quantifier ce changement.

Définition des Variations

• Valeur de départ (initiale) : `Vo`

• Valeur d'arrivée (finale) : `V1`

• Variation absolue : La différence entre la valeur finale et la valeur initiale.

  • Formule : `V1 - Vo`

• Variation relative (Taux d'évolution) : Le rapport de la variation absolue à la valeur initiale.

  • Formule : ``

Remarques Importantes sur le Taux d'Évolution

• Si l'évolution est une augmentation :

  • Les variations absolue et relative sont positives.

• Si l'évolution est une diminution :

  • Les variations absolue et relative sont négatives.

• Pour exprimer le taux d'évolution en pourcentage :

  • Multipliez le quotient `` par `100`.

• Coefficient Multiplicateur (CM) :

  • Formule : ``

  • Relation avec le taux d'évolution : `CM = 1 + t` (où `t` est le taux décimal).

Exemple de Calcul de Variation

La population d'une ville passe de `55 000` à `74 250` habitants.

• Variation absolue : `74 250 - 55 000 = 19 250`

• Taux d'évolution : ``

• Évolution en pourcentage : ``. La population augmente de 35%.

Évolutions Successives et Évolution Réciproque

Lorsqu'une quantité subit plusieurs évolutions consécutives, on peut calculer une évolution globale.

Évolutions Successives

• Définition : Si une valeur `Vo` évolue en `V1` (1ère évolution) puis `V1` évolue en `V2` (2ème évolution).

• Le taux d'évolution global est le taux entre `Vo` et `V2`.

• Le coefficient multiplicateur global (CMglobal) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Propriété Fondamentale

• Si `CM1` est le coefficient de la première évolution et `CM2` celui de la seconde :

• Coefficient Multiplicateur Global : `CMglobal = CM1 x CM2`

• Taux Global d'Évolution (en pourcentage) : `tglobal = (CMglobal - 1) x 100`

Exemples d'Évolutions Successives

1. Un prix initial augmente de 10% puis augmente de nouveau de 20%.

   • `CM1 = 1 + 0,10 = 1,1`

   • `CM2 = 1 + 0,20 = 1,2`

   • `CMglobal = 1,1 x 1,2 = 1,32`

   • `tglobal = (1,32 - 1) x 100 = 32%`. L'augmentation globale est de 32%.

2. Un prix initial diminue de 30% puis augmente de 20%.

   • `CM1 = 1 - 0,30 = 0,7`

   • `CM2 = 1 + 0,20 = 1,2`

   • `CMglobal = 0,7 x 1,2 = 0,84`

   • `tglobal = (0,84 - 1) x 100 = -16%`. La diminution globale est de 16%. (Alternativement : `(1 - 0,84) x 100 = 16%` en valeur absolue pour une diminution).