Systèmes linéaires et matrices

1.1 SYSTÈMES LINÉAIRES

Un système linéaire décrit un ensemble d'équations où les inconnues sont de degré un. Bien que le concept s'applique aussi aux nombres complexes, nous nous concentrerons ici sur les nombres réels.

Définition 1.1 : Un système linéaire à équations et inconnues est formulé comme suit :

• Les coefficients du système sont les nombres réels .

• Les coefficients du second membre sont les .

• Un système est homogène si tous les sont nuls.

• Une solution est un -uplet qui vérifie toutes les équations.

• L'ensemble des solutions, noté , est le regroupement de toutes les solutions possibles.

Types de solutions pour un système linéaire

Un système linéaire peut présenter trois cas de figure pour ses solutions :

• Aucune solution : L'ensemble des solutions est vide ().

• Une unique solution : L'ensemble des solutions contient un seul élément ().

• Une infinité de solutions : L'ensemble des solutions est infini ().

Exemple 1.2 : Résolution d'un système linéaire

Considérons le système suivant :

1. Élimination de dans la deuxième équation :

   Appliquons l'opération :

2. Simplification de la deuxième équation :

   On obtient , ce qui simplifie en . Le système devient :

3. Substitution et résolution pour :

   En substituant dans la première équation (), on trouve , donc .

   La solution unique est . L'ensemble des solutions est .

4. Alternative : Opérations sur les lignes :

   On peut aussi continuer avec les opérations sur les lignes depuis (1.3) :

   Appliquons :

   Puis :

Ces méthodes illustrent l'algorithme du pivot qui est une

approche systématique pour résoudre tous les types de systèmes linéaires.

1.2 MATRICE ASSOCIÉE À UN SYSTÈME

Les matrices sont des outils fondamentaux pour manipuler les systèmes linéaires de manière concise.

Définition 1.3 :

• La matrice des coefficients d'un système est un tableau rectangulaire des :

  	...		...
  :		:		:
  	...		...
  :		:		:
  	...		...

• La matrice augmentée du système inclut les coefficients du second membre :

  	...		...
  :		:		:	:
  	...		...
  :		:		:	:
  	...		...

Remarque 1.4 : Le système est entièrement défini par sa matrice augmentée. Le système homogène associé est défini par la matrice des coefficients (sans le second membre).

Exemple 1.5 : Matrice augmentée et résolution

Pour le système de l'exemple 1.2 :

3	2	8
2	5	9

Les étapes de résolution se transcrivent ainsi avec les matrices augmentées :

3	2	8
0

Ceci nous donne directement la solution : .

1.3 APPLICATION ASSOCIÉE À UN SYSTÈME

L'ensemble est l'ensemble des -uplets de nombres réels. Ses éléments sont appelés vecteurs et peuvent être additionnés et multipliés par un scalaire (nombre réel) composante par composante :

• Addition :

• Multiplication scalaire : $\lambda \mathbf{x} := (\lambda x_1, \ldots</p></li></ul><p style="text-align: left;"></p><p style="text-align: left;">, \lambda x_n)$

  • Le vecteur nul est .

  Définition 1.8 : L'application associée à un système linéaire est une fonction définie par , où chaque .

  Remarque 1.10 : On peut écrire où est un vecteur, ce qui rend l'écriture plus compacte.

  Exemple 1.11 : Application associée au système

  Pour le système et , l'application est :

  
  

  Proposition 1.12 : Un vecteur est solution du système si et seulement si , où .

  L'ensemble des solutions est donc , ce qui signifie que est l'ensemble des antécédents de par l'application .

  1.4 PROPRIÉTÉS DE Sol(S)

  Proposition 1.15 : L'application associée à un système linéaire est une application linéaire.

  • Additivité : pour tous .

  • Homogénéité : pour tout et .

  Ces propriétés sont vérifiables en développant les expressions composante par composante comme montré dans l'Exemple 1.16.

  Propriétés des solutions d'un système linéaire

  Proposition 1.17 : Soit un système linéaire, et le système homogène associé (avec le second membre nul). Alors :

  1. Si , alors . L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par addition.

  2. Si , alors pour tout , on a . L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par multiplication scalaire.

  3. Si est une solution particulière, alors . Toutes les solutions d'un système linéaire s'obtiennent en ajoutant une solution particulière aux solutions du système homogène associé.

  La preuve de la propriété 3 repose sur la linéarité de l'application et l'égalité .

  1.5 MATRICES ET CALCUL MATRIC

  IEL

  Au-delà de leur lien avec les systèmes linéaires, les matrices sont des objets mathématiques avec leurs propres règles de calcul.

  Définition 1.19 : Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels avec lignes et colonnes. On la note également ou pour l'ensemble de ces matrices.

  Exemple 1.20 :

  Remarque 1.21 : peut être identifié à .

  Vocabulaire des matrices

  • Les sont les coefficients de la matrice.

  • Une matrice de taille a lignes et colonnes.

  • Une matrice ligne a .

  • Une matrice colonne a .

  • Une matrice carrée a .

  • La matrice nulle a tous ses coefficients nuls.

  • La diagonale d'une matrice carrée contient les coefficients .

  • Une matrice est diagonale si elle est carrée et ses coefficients non-diagonaux sont nuls.

  • La matrice identité est une matrice diagonale de taille avec des 1 sur la diagonale.

  • Une matrice est triangulaire supérieure si elle est carrée et tous ses coefficients en-dessous de la diagonale sont nuls.

  1.5.1 Addition des matrices

  Pour deux matrices et de même taille , leur somme est définie par l'addition de leurs coefficients correspondants :

  Exemple :

  1.5.2 Multiplication d'une matrice par un scalaire

  Pour un scalaire et une matrice , le produit est obtenu en multipliant chaque coefficient de par :

  Exemple :

  $-2 \left( \begin{array}{cc} 1 &amp; 1 \\ 2 &amp; 3 \\ 1 &amp; -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -2 &amp; -2 \\ -4 &amp; -6 \\ -2 &amp; 2 \end{array} \right).</p></blockquote><p style="text-align: left;"></p><p style="text-align: left;">$

  Proposition 1.24 : Ces deux opérations suivent des règles similaires à celles des nombres réels :

  • (Commutativité de l'addition)

  • (Associativité de l'addition)

  • (Élément neutre pour l'addition)

  • (Distributivité)

  • (Distributivité)

  • (Associativité pour la multiplication scalaire)

  La preuve de ces propriétés se fait coefficient par coefficient.

  1.5.3 Produit de matrices

  Le produit de deux matrices et est défini si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de . La matrice résultante est de taille .

  Cas particulier : produit d'une matrice ligne par une matrice colonne :

  Exemple 1.26 :

  Cas général : Le coefficient est le produit de la -ième ligne de par la -ième colonne de :

  Exemple 1.27 :

  Le coefficient , par exemple, est .

  Définition 1.28 (Produit matriciel) :

  1. Le produit est défini si le nombre de colonnes de égal le nombre de lignes de .

  2. Le produit a autant de lignes que et autant de colonnes que .

  3. Le coefficient est le produit de la -ième ligne de par la -ième colonne de .

  1.6 RÈGLES DU CALCUL MATRICIEL

  Proposition 1.29 : Propriétés générales du produit matriciel (où les tailles sont compatibles) :

  1. (Associativité du produit)

  2. (Distributivité à droite)

  3. (Distributivité à gauche)

  4. (Associativité avec la multiplication scalaire)

  (Élément neutre pour le produit)

  La preuve se fait généralement en comparant les coefficients individuels, en utilisant les propriétés des nombres réels.

  Remarque 1.31 : Le produit matriciel n'est pas une opération comme celle des nombres réels :

  1. Non-commutativité : En général, . Les produits peuvent même ne pas avoir la même taille ou un seul peut être défini.

     , mais .

  2. Absence de propriété : Une matrice non nulle peut avoir un carré nul.

     La matrice est non nulle, mais son carré est .

  3. Absence de propriété de simplification : avec n'implique pas si n'est pas inversible.

     et , pourtant .

  1.7 TRANSPOSÉE, INVERSE, PUISSANCES

  1.7.1 Transposée

  Définition 1.32 : La transposée d'une matrice de taille est la matrice de taille . Les lignes de deviennent les colonnes de , et vice-versa.

  Lemme 1.34 : Si et , alors .

  Remarque 1.35 : La transposée d'un produit inverse l'ordre des facteurs, illustrant à nouveau la non-commutativité du produit matriciel.

  1.7.2 Inverse et puissances d'une matrice

  Définition 1.36 : Une matrice carrée est inversible s'il existe une matrice de même taille telle que et . Cette matrice est unique et est appelée l'inverse de , notée .

  Preuve de l'unicité : Si et , alors .

  Exemple 1.37 :

  • est inversible, son inverse est elle-même.

  • n'est pas inversible car une multiplication par une matrice arbitraire ne peut pas produire la matrice identité (la dernière ligne reste nulle).

  Proposition 1.38 : Si et sont des matrices inversibles de même taille :

  • est inversible, et .

  • est inversible, et .

  Remarque 1.39 :

  1. N'écrivez jamais de "fractions de matrices", car

  en général.

  • Si et est inversible, alors (règle de simplification).

  Puissances d'une matrice carrée :

  • pour .

  • Si est inversible, pour .

  Proposition 1.40 : Pour toute matrice carrée et entiers (positifs, ou de signe quelconque si est inversible) :

  Points Clés

  • Les systèmes linéaires peuvent avoir zéro, une ou une infinité de solutions.

  • La résolution manuelle utilise des opérations sur les lignes pour simplifier le système.

  • Les matrices (coefficients, augmentée) sont une notation condensée et puissante pour les systèmes linéaires.

  • Les applications linéaires décrivent les systèmes et leurs solutions.

  • Les solutions des systèmes homogènes forment un ensemble stable par addition et multiplication scalaire.

  • Toute solution d'un système linéaire est la somme d'une solution particulière et d'une solution du système homogène.

  • L'addition et la multiplication scalaire des matrices sont définies coefficient par coefficient.

  • Le produit matriciel n'est pas commutatif et a des règles spécifiques.

  • La transposée d'un produit de matrices inverse l'ordre des facteurs.

  • Les matrices inversibles permettent la "division" de matrices (par multiplication par l'inverse) et l'application des puissances.