Propagation et perception du son

Les Ondes Mécaniques et Sonores

Les ondes mécaniques sont des vibrations qui se propagent dans un milieu matériel, transportant de l'énergie sans qu'il y ait de transport net de matière. Le son est une forme d'onde mécanique.

1. Le Son et la Loi de Hooke

1.1. Génération du Son

Le son est généré dans un milieu matériel, comme l'air, par la compression et la dilatation des molécules. Ce processus peut être modélisé par la loi de Hooke, qui décrit la relation linéaire entre la contrainte et la déformation dans le régime élastique.

Lorsqu'un gaz est confiné par un piston et qu'une force externe $F_{ext}$ est appliquée pour le comprimer, la pression du gaz change. Pour des petites déformations ($\Delta X \ll X_{eq}$), la force externe est proportionnelle à la déformation :

$F_{ext} = \frac{nRT}{x_{eq}^2} \Delta x$

Cette relation indique une proportionnalité entre la contrainte (force) et la déformation ($\Delta x$), similaire à la loi de Hooke.

1.2. Mouvement Harmonique et Onde Mécanique

Quand la force externe est retirée, le piston oscille autour de sa position d'équilibre en raison d'une force de rappel (système élastique). Le gaz est alternativement compressé et expansé, ce qui entraîne un mouvement harmonique des molécules.

• Cette vibration se propage aux molécules voisines, créant une perturbation.
• Cette perturbation mécanique n'est pas confinée et s'éloigne de la source à une vitesse $v$.
• On parle alors d'onde mécanique, et dans le cas du son, d'onde sonore.

2. Concept d'Onde

2.1. Propagation des Vibrations

Une onde est une vibration qui se propage. Une onde mécanique nécessite un milieu matériel pour se propager (ex: corde, ressort, air). L'impulsion se propage tandis que le milieu ne subit qu'un déplacement limité.

L'onde $y$ dépend de la position $x$ et du temps $t$. La perturbation en un point $x$ est la même que celle à la source ($x=0$) avec un retard $t_r = x/v$ :

$y(x,t) = y\left(0, t - \frac{x}{v}\right)$

La vitesse de l'onde $v$ dépend uniquement du milieu porteur.

2.2. Onde Transverses et Longitudinales

• Onde transverse : Le déplacement du milieu est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ex: onde sur une corde).
• Onde longitudinale : Le déplacement du milieu est parallèle à la direction de propagation de l'onde (ex: onde sonore dans l'air, onde sur un ressort).

Ces deux types d'ondes peuvent être représentées graphiquement de la même manière et obéissent aux mêmes équations.

3. Caractéristiques des Ondes Harmoniques

3.1. Paramètres Fondamentaux

Lorsqu'une source vibre avec un mouvement harmonique, elle génère une onde sinusoïdale caractérisée par :

• Amplitude (A) : Déplacement maximal de la vibration.
• Longueur d'onde ($\lambda$) : Distance entre deux crêtes successives.
• Fréquence (f) : Nombre de crêtes passant par un point par seconde.
• Période (T) : Temps entre le passage de deux crêtes successives au même point ($T = 1/f$).

La vitesse de l'onde est donnée par :

$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$

Cette vitesse est constante pour un milieu donné.

Exemple : Pour une note Do (261.6 Hz) avec une longueur d'onde de 1.31 m dans l'air, la vitesse du son est $v = 1.31 \times 261.6 \approx 343 \, \text{m/s}$.

3.2. Équation d'Onde Harmonique

L'équation générale d'une onde harmonique progressive est :

$y(x,t) = A \sin(\omega t - Kx + \phi)$

• $A$ : Amplitude
• $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ : Fréquence angulaire (en rad/s)
• $K = 2\pi/\lambda$ : Nombre d'onde (en $\text{m}^{-1}$)
• $\phi$ : Déphasage initial

L'onde sonore (onde de compression) est souvent représentée par une variation de pression $p(x,t)$, qui est déphasée de $\pi/2$ par rapport au déplacement des molécules :

$p(x,t) = \Delta P \cos(\omega t - Kx)$

où $\Delta P = v \rho \omega A$ est l'amplitude de pression. Les maxima de pression correspondent aux points de déplacement nul des molécules, et inversement.

3.3. Vitesse du Son

La vitesse du son dépend du milieu et de la température. Elle est généralement plus rapide dans les solides et les liquides que dans les gaz. Par exemple, la vitesse du son dans l'air à 20°C est d'environ 343 m/s, tandis que dans l'eau elle est d'environ 1490 m/s à 25°C et dans l'acier d'environ 5940 m/s.

Pour un gaz parfait, la vitesse du son ($v$) dépend de la température ($T$) :

$v = v_0 \sqrt{\alpha T}$

où $\alpha = 1/273.15 \, \text{K}^{-1}$ et $v_0$ est la vitesse de référence à 273.15 K.

Matériau	Vitesse du son (m/s)	Température (K)
Gaz
Air	331	273
Air	343	293 (20°C)
Air	386	373
Liquides
Eau	1400	273
Eau	1490	298
Eau de mer	1530	298
Solides
Acier	5940
Granit	6000
Tissu biologique	1540	310 (37°C)
Caoutchouc	55

4. Intensité du Son

4.1. Définition et Calcul

L'intensité du son (I) est la quantité d'énergie transportée par l'onde par unité de temps à travers une surface unitaire perpendiculaire à la direction de propagation. Elle est exprimée en J/(m²s) ou W/m².

L'énergie totale d'une molécule de gaz en oscillation est $E_{total} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. La densité d'énergie $\varepsilon = \frac{E_{total}}{V} = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2$ où $\rho$ est la masse volumique du milieu.

L'intensité du son est alors $I = v \varepsilon = \frac{1}{2} v \rho \omega^2 A^2$. On note que $I \propto A^2$ et $I \propto \Delta P^2$, ce qui signifie que l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude de déplacement et d'amplitude de pression.

4.2. Niveaux d'Intensité (Décibels)

Pour quantifier l'intensité sonore sur une large échelle, on utilise une échelle logarithmique exprimée en décibels (dB).

• Le Niveau d'Intensité Acoustique (IL) :

  $IL = 10 \log \frac{I}{I_0}$

  où $I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2$ est l'intensité de référence (seuil d'audition).
• Le Niveau de Pression Acoustique (SPL) :

  $SPL = 20 \log \frac{p}{p_0}$

  où $p_0 = 2 \cdot 10^{-5}$ Pa est la pression de référence (seuil d'audition).

Propriété logarithmique : Doubler l'intensité sonore augmente le niveau d'intensité de 3 dB. Par exemple, si une radio a un IL de 45 dB, deux radios identiques auront un IL de $10 \log 2 + 45 \text{ dB} \approx 3 \text{ dB} + 45 \text{ dB} = 48 \text{ dB}$.

4.3. Décroissance de l'Intensité avec la Distance

Pour une source ponctuelle émettant uniformément dans toutes les directions, l'intensité du son diminue avec le carré de la distance à la source ($I \propto 1/r^2$). Ceci est une conséquence de la conservation de l'énergie, car l'énergie se répartit sur une surface sphérique croissante ($A = 4\pi r^2$).

5. Interférences

Lorsque plusieurs ondes se propagent dans le même milieu, l'onde résultante est la somme des déplacements individuels des perturbations. C'est le principe de superposition.

• Interférence constructive : Les ondes sont en concordance de phase (déphasage de $0$ ou $2n\pi$, ou décalage de $\lambda$). L'amplitude de l'onde résultante est la somme des amplitudes individuelles.
• Interférence destructive : Les ondes sont en opposition de phase (déphasage de $\pi$ ou $(2n+1)\pi$, ou décalage de $\lambda/2$). L'amplitude de l'onde résultante est la différence des amplitudes individuelles, pouvant être nulle si les amplitudes sont égales.

6. Réflexion et Ondes Stationnaires

6.1. Réflexion des Ondes

Lorsqu'une onde atteint une interface entre deux milieux, une partie est transmise et l'autre est réfléchie. Si l'extrémité d'une corde est fixe, l'onde réfléchie est inversée (déphasée de $\pi$) par rapport à l'onde incidente. Si l'extrémité est libre, l'onde réfléchie n'est pas inversée.

6.2. Ondes Stationnaires

Les ondes stationnaires se forment par la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie de même amplitude et fréquence, mais se propageant en sens opposés. L'équation d'une onde stationnaire est :

$y(x,t) = 2A \{\cos \omega t \sin Kx\}$

Une onde stationnaire est caractérisée par :

• Des nœuds : Points où l'amplitude de déplacement est toujours nulle.
• Des ventres : Points où le déplacement atteint son amplitude maximale.

Les ondes stationnaires ne se forment que pour des longueurs d'onde spécifiques, déterminées par les conditions aux limites du milieu.

6.3. Harmoniques dans les Tuyaux et Cordes

Pour une corde fixée aux deux extrémités (ou un tube ouvert aux deux extrémités), les fréquences des harmoniques sont :

$f_n = \frac{nv}{2L}$

où $L$ est la longueur de la corde/tube, $v$ la vitesse de l'onde et $n = 1, 2, 3, \ldots$ (harmoniques ou modes normaux).

Pour un tube fermé à une extrémité (ex: conduit auditif), seules les harmoniques impaires sont possibles :

$f_n = \frac{nv}{4L}$ avec $n = 1, 3, 5, \ldots$

Le mode fondamental ($n=1$) est appelé la première harmonique. Les harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

7. Principes Physiques de l'Audition

7.1. Anatomie de l'Oreille et Transmission du Son

Le son est transmis du conduit auditif externe à l'oreille interne en plusieurs étapes :

1. Le son entre par le conduit auditif, qui agit comme un tube semi-ouvert. La première harmonique du conduit auditif (longueur $L \approx 2.5 \, \text{cm}$) est :

   $f_1 = \frac{v}{4L} = \frac{343}{4 \times 0.025} \approx 3.4 \, \text{kHz}$

   Cette résonance amplifie les sons autour de cette fréquence, ce qui explique la sensibilité maximale de l'oreille humaine dans cette plage.
2. L'onde résonante fait vibrer le tympan.
3. Les osselets (marteau, enclume, étrier) de l'oreille moyenne amplifient la force et la pression. L'équilibre de rotation des osselets multiplie la force exercée sur la fenêtre ovale par un facteur d'environ 1.5. De plus, la surface du tympan ($\approx 65 \, \text{mm}^2$) étant beaucoup plus grande que celle de la fenêtre ovale ($\approx 3.2 \, \text{mm}^2$), la pression sur la fenêtre ovale est amplifiée d'un facteur d'environ 30 ($\frac{1.5 \times 65}{3.2} \approx 30$). Cette amplification est cruciale pour compenser la perte d'énergie lors du passage du son d'un milieu gazeux à un milieu liquide.
4. La vibration de la fenêtre ovale est transmise à la périlymphe dans la cochlée (oreille interne).
5. Dans la cochlée, la membrane basilaire, dont l'épaisseur varie le long de sa longueur, vibre à des positions spécifiques en fonction de la fréquence du son. Chaque fréquence entre en résonance à un endroit précis de la membrane.
6. La vibration de la membrane basilaire entraîne le fléchissement des cellules ciliées de l'organe de Corti. Ces cellules transforment la vibration mécanique en signaux électriques transmis au cerveau, permettant l'interprétation des fréquences et des sons.

8. Les Battements

Lorsque deux sons de fréquences légèrement différentes ($f_1$ et $f_2$) se superposent, l'oreille perçoit un son dont l'amplitude varie périodiquement. Ce phénomène est appelé le battement.

La superposition de deux ondes sinusoïdales de fréquences $\omega_1$ et $\omega_2$ (et d'amplitudes égales) donne :

$y_{total}(0, t) = 2 A \cos \left(\frac{(\omega_1 - \omega_2) t}{2}\right) \sin \left(\frac{(\omega_1 + \omega_2) t}{2}\right)$

Ce signal a deux fréquences distinctes :

• Une fréquence élevée, proche des fréquences d'origine : $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
• Une fréquence basse, appelée fréquence de battement : $f_b = |f_1 - f_2|$. C'est la fréquence de l'enveloppe du signal, qui module l'amplitude perçue.

L'oreille perçoit le son à la fréquence moyenne, mais avec une intensité qui varie à la fréquence de battement.

Exemple : Si $f_1 = 1000 \, \text{Hz}$ et $f_2 = 1010 \, \text{Hz}$, la fréquence perçue est de 1005 Hz, mais l'amplitude varie 10 fois par seconde ($f_b = 10 \, \text{Hz}$).

9. La Voix

La production de la voix est un processus complexe impliquant plusieurs phénomènes physiques :

1. Excitation mécanique : L'air venant des poumons traverse les cordes vocales.
2. Vibration des cordes vocales : L'étroitesse de l'espace entre les cordes vocales augmente la vitesse de l'air (équation de continuité : $Av = \text{constante}$). Selon l'équation de Bernoulli ($p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constante}$), l'augmentation de la vitesse de l'air réduit la pression, ce qui fait collaber et refermer les cordes vocales. La pression pulmonaire les rouvre, créant un cycle de vibration.
3. Harmoniques des cordes vocales : Les cordes vocales peuvent être modélisées comme des cordes vibrantes fixées aux deux extrémités. Leur fréquence fondamentale et leurs harmoniques sont données par $f_n = \frac{nv}{2L}$, où $v = \sqrt{T/\mu}$ est la vitesse de l'onde sur la corde (dépend de la tension $T$ et de la masse linéique $\mu$). En modifiant la tension des cordes vocales, une large gamme de fréquences peut être produite.
4. Filtrage par la cavité buccale : La vibration des cordes vocales est transmise à l'air de la cavité buccale. Celle-ci agit comme un tube semi-ouvert (cordes vocales = extrémité fermée ; bouche/nez = extrémité ouverte), générant ses propres fréquences de résonance (harmoniques impaires : $f_n = \frac{nv}{4L}$). Ces fréquences de résonance filtrent le spectre émis par les cordes vocales, ce qui est essentiel pour la formation des voyelles et des consonnes. Un amortissement permet un étalement de ces fréquences de résonance.

Points Clés

• Le son est une onde mécanique nécessitant un milieu matériel pour se propager.
• La loi de Hooke décrit la fondation de la vibration élastique qui génère le son.
• Les ondes peuvent être transverses ou longitudinales, mais obéissent aux mêmes principes.
• L'équation d'onde harmonique $y(x,t) = A \sin(\omega t - Kx + \phi)$ caractérise les perturbations périodiques.
• La vitesse du son dépend du milieu et de la température.
• L'intensité du son (mesurée en dB) est proportionnelle au carré de l'amplitude.
• Les interférences (constructives ou destructives) résultent de la superposition d'ondes.
• Les ondes stationnaires apparaissent dans les espaces confinés et sont à l'origine des harmoniques.
• L'audition implique la résonance du conduit auditif, l'amplification par les osselets et la décomposition fréquentielle par la membrane basilaire.
• Les battements se produisent lors de la superposition de fréquences proches.
• La voix est produite par la vibration des cordes vocales (modélisables comme des cordes) et le filtrage des harmoniques par les résonances de la cavité buccale (modélisable comme un tube semi-ouvert).