Physique chap 8

Introduction aux Fluides Parfaits

Ce chapitre aborde les fluidesau repos et les fluides parfaits en mouvement, introduisant des concepts fondamentaux en mécaniquedes fluides.

Définition et Hypothèses

• Un fluide parfait est un fluide deviscosité nulle, ce qui implique l'absence de frottements internes et de dissipation d'énergie.
• Hypothèse clé: Les fluides sont considérés incompressibles.

Différences entre Mécanique du Solide et Mécanique des Fluides

La Pression

La pression ($P$) est définie comme le rapport entre une force normale ($F_{\perp}$) appliquée uniformément sur une surface et l'aire ($A$) de cette surface.

$P = \frac{F_{\perp}}{A}$ Avec pour unité le $N/m^2$ ou Pascal (Pa).

Quelques Valeurs de Masses Volumiques et Pressions

• Pression atmosphérique ($P_{\text{atm}}$) : $1,013 \times 10^{5} \text{ Pa}$
• $1 \text{ Pa} = 1 \text{ Nm}^{-2}$
• Équivalences : $1 \text{ atm} = 1,013 \times 10^{5} \text{ Pa} = 1,013 \text{ bar}= 760 \text{ torr} = 760 \text{ mm Hg}$

Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède décrit la force de portance exercée par un fluide sur un corps qui y est partiellement ou totalement immergé.

Force de Poussée

Un élément de fluide au repos de volume $V$ est soumis à une force de poussée ($B$) de la part du reste du fluide pour le maintenir en équilibre.

$B = \rho_{0} g V$

• $\rho_{0}$ : masse volumique du fluide
• $g$ : accélération de la pesanteur
• $V$ : volume de fluide déplacé

ObjetImmergé

Lorsqu'un objet solide de volume $V$ est immergé dans un fluide et suspendu à une corde, la tension ($T$) dans la corde est modifiée.

À l'équilibre : $B + T = w$

• $B = \rho_{0} g V$ (poussée d'Archimède)
• $w = \rho g V$ (poids de l'objet, où $\rho$ est la masse volumique de l'objet)
• Par conséquent, la tensionest : $T = (\rho - \rho_{0}) g V$

La tension dans la corde est réduite du poids du fluide déplacé par l'objet.

Mesure de la Masse Volumique par le Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède offre une méthode efficace pour déterminer la masse volumique d'un solide.

1. Exemple : Un morceau de métal inconnu a une tension de 10 N avant immersion et 8 N après immersion dans l'eau. Pourtrouver sa masse volumique :
   • Poids dans l'air (avant immersion) : $w = 10 \text{ N}$
   • Poids apparent (après immersion) : $T = 8 \text{ N}$
   • Poussée d'Archimède : $B = w - T = 10 \text{ N} - 8 \text{ N} = 2 \text{ N}$
   • Puisque $B = \rho_{\text{eau}} g V$, on peut trouver le volume $V$ de l'objet.
   • Ensuite, la masse de l'objet est $m = w/g$, et sa masse volumique est $\rho = m/V$.

Objets Flottants

Un objet moins dense que lefluide flotte en étant partiellement immergé.

Pour un iceberg (masse volumique de la glace : $920 \text{ kg/m}^3$, de l'eau de mer : $1025 \text{ kg/m}^3$), la fraction immergée est le rapport dela masse volumique de la glace à celle de l'eau de mer :

Fraction immergée = $\frac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{eau de mer}}} = \frac{920}{1025} \approx 0,897$ (environ 89,7% de l'iceberg est immergé).

Conservation du Débit

La conservation du débit est un principe fondamental en dynamique des fluides, énonçant que le volume de fluide traversant une section donnée par unité de temps reste constant.

Définition du Débit

Le débit ($Q$) dans une canalisation est le volume de fluide ($\Delta V$) qui la traverse par unité de temps ($\Delta t$).

$Q = \frac{\DeltaV}{\Delta t}$ L'unité est le $m^3/s$.

Alternativement, si un fluide s'écoule avec une vitesse $v$ à travers une section $A$ sur une distance $\Delta x = v \Delta t$, alors $\Delta V = A \Delta x = A v \Delta t$.

Ainsi, le débit peut aussi s'exprimer par : $Q = A v$

Principe de Conservation

Pour un écoulement ininterrompu dans un conduit,le débit est conservé : $Q_1 = Q_2$.

Il en découle la relation : $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

• Si l'aire de la section diminue ($A_1 < A_2$), la vitesse du fluide doit augmenter ($v_1 > v_2$) pour conserver le débit.
• Dans le cas d'un écoulement non uniforme sur la section, cette équation est reformulée avec les vitesses moyennes : $A_{1} \overline{v_{1}}= A_{2} \overline{v_{2}}$

Écoulements Laminaires et Turbulents

Ces deux types d'écoulements décrivent la manière dont un fluide se déplace, avec des implications importantes pour la physique et l'ingénierie.

Écoulement Laminaire

• Caractérisé par des couches de fluide glissant les unes sur les autres sans se mélanger.
• Généralement observé à de faibles vitesses.

Écoulement Turbulent

• Caractérisé par des tourbillons et un mélange chaotique des particules de fluide.
• Généralement observé à des vitesses élevées.

Ces notions seront précisées dans le chapitre suivant.

Théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli est une application du principe de conservation de l'énergie aux fluides parfaits en mouvement.

Hypothèses Fondamentales

• Fluide incompressible : Sa masse volumique ne change pas.
• Fluide non visqueux: Pas de frottements internes ni de dissipation d'énergie.
• Écoulement laminaire : Pas de turbulence.
• Régime d'écoulement stationnaire : La vitesse du fluide en un point donné ne varie pas avec le temps.

Formulationdu Théorème

Sous ces quatre hypothèses, la somme de la pression, de l'énergie cinétique par unité de volume et de l'énergie potentielle gravitationnelle par unité de volume est constante le long d'une ligne de courant :

$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g y = C^{te}$

• $P$ : pression statique du fluide
• $\rho$ : masse volumique du fluide
• $v$ : vitesse du fluide
• $g$ : accélération de la pesanteur
• $y$ : hauteur (altitude) par rapport à un niveau de référence

Applications pour les Fluides auRepos (v = 0)

Lorsque le fluide est au repos, le théorème de Bernoulli se simplifie et permet de comprendre la variation de pression avec la profondeur et les surfaces isobares.

Pression en Fonction de la Profondeur

Si $v = 0$, le théorème de Bernoulli devient : $P + \rho g y = C^{te}$.

Par exemple, entre la surface ($A$) et un point plus profond ($B$ à une hauteur $y_B$), avec $P_A = P_{atm}$ et $y_A = H$ : $P_{atm} + \rho g H = P_B + \rho g y_B$ Si l'on définit la profondeur $h = H - y_B$, alors $P_B = P_{atm} + \rho g h$.

La pression augmente avec la profondeur.

• Cette augmentation de pression est cruciale pour la conception des sous-marins et la gestion des paliers de décompression pour les plongeurs.

Pression à Profondeur Constante

Dans un fluide au repos, la pression est constante à profondeur constante.

Par exemple, si deux points $B$ et $D$ sont à la même hauteur ($y_B = y_D$), alors $P_B = P_D$.

Vases Communicants

Pour des surfaces libres de liquides au repos dans des vases communicants de forme quelconque, les surfaces sont au même niveau, car la pression à la surface est la pression atmosphérique ($P_A=P_E=P_{atm}$).

Le Manomètre

Le manomètre est un instrument utilisé pour mesurer la pression dans un fluide.

Fonctionnement

Il compare la pression d'un fluide à une pression de référence (souvent la pressionatmosphérique ou le vide).

Rôle de la Gravitation dans la Circulation Sanguine

• La pression sanguine varie avec la hauteur due à la gravité.
• En position verticale, la pression dans les pieds est plus élevée que dans la tête.
• Exemple : La pression dans le pied ($P_P$) est plus grande que celle dans le cœur ($P_C$) qui est elle-même plus grande que celle dans le cerveau ($P_{CV}$), car $h_P > h_C > h_{CV}$. $P_P = P_C + \rho g h_C = P_{CV} + \rho g h_{CV}$ (en négligeant la vitesse d'écoulement du sang).
• Certains animaux peuvent avoir des problèmes de circulation si leur corps est maintenu dans une position contre nature pendant troplongtemps.

Mesure de la Tension Artérielle au Sphygmomanomètre

• Mesure effectuée sur le bras, à peu près au même niveau que le cœur, pour minimiser les effets de la gravité.
• L'artère brachiale est facilement compressible carle bras ne contient qu'un seul os.

Méthode :

1. On gonfle le brassard pour augmenter la pression et fermer l'artère.
2. On diminue lentement la pression. Le premier son (tapotement) apparaît lorsque l'artère s'ouvre brièvement pendant les phases de pression systolique ($P_{\text{max}}$). Ce son est dû à l'écoulement turbulent.
3. On continue à diminuer la pression. Le son devient continu (ou cesse) lorsque l'artère reste ouverte en permanence. Ceci indique la pression diastolique ($P_{\text{min}}$), l'écoulement redevenant laminaire.

Conséquences Dynamiques du Théorème de Bernoulli

Lorsque le terme dynamique ($1/2\rho v^2$) du théorème de Bernoulli n'est pas négligeable, la vitesse du fluide a des effets notables sur la pression.

Relation Pression-Vitesse à Altitude Constante

Si la variation d'altitude ($y$) est négligeable, le théorème de Bernoulli devient :$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = C^{te}$.

Considérons un point A où le fluide est au repos ($v_A = 0$) et à pression atmosphérique ($P_A = P_{atm}$). À un autrepoint B où le fluide s'écoule avec une vitesse $v_B$ :

$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$$P_{atm} + 0 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$ $\Rightarrow P_B = P_{atm} - \frac{1}{2} \rho v_B^2$

Lapression diminue quand la vitesse augmente dans un liquide en écoulement à altitude constante.

Phénomène de Cavitation

Si la vitesse du fluide augmente suffisamment, la pression peut chuter en dessous de la pression de vapeur du liquide, entraînant la formationde bulles de vapeur (cavitation). Ces bulles implosent violemment, causant des dommages (ex: sur les hélices de bateaux).

Effet Pulvérisateur (Tube de Venturi)

Le principe de Bernoulli explique comment un pulvérisateur fonctionne : l'air soufflé rapidement à travers un rétrécissement crée une basse pression, qui aspire le liquide vers le haut pour être dispersé.

Effet du Rétrécissement d'un Vaisseau Sanguin

En présence d'une plaque d'artériosclérose, levaisseau sanguin se rétrécit.

1. Selon la conservation du débit ($A_1 v_1 = A_2 v_2$), si la section $A_2$ est plus petite que $A_1$, la vitesse du sang $v_2$ augmente ($v_2 > v_1$).
2. Selon le théorème de Bernoulli ($P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$), l'augmentation de vitesse ($v_2 > v_1$) entraîne unediminution de la pression au niveau du rétrécissement ($P_2 < P_1$).

Cette basse pression au niveau du rétrécissement peut entraîner un risque d'écrasement (collapsus) du vaisseau sanguin.

PointsClés à Retenir

• Un fluide parfait est théorique, sans viscosité ni frottement.
• La pression est une force par unité de surface, augmentant avec la profondeur dans un fluide au repos.
• Le principe d'Archimède explique la flottabilité par la poussée vers le haut égale au poids du fluide déplacé.
• La conservation du débit ($A v = C^{te}$) implique qu'une réduction de section augmente la vitesse de l'écoulement.
• Le théorème de Bernoulli ($P + 1/2 \rho v^2 + \rho g y = C^{te}$) est une loi de conservation de l'énergie pour les fluides parfaits.
• Les applications de Bernoulli montrent qu'une augmentation devitesse s'accompagne d'une diminution de pression et vice-versa.

Chapitre 8:Fluides Parfaits

Ce chapitre explore les fluides parfaits, qui sont des fluides idéalisés sans viscosité, ce qui signifie qu'ils ne subissent pas de frottements ni de dissipation d'énergie.

• Fluide parfait: un fluide dont la viscosité est nulle.

• Hypothèse clé: Les fluides parfaits sont considérés comme incompressibles.

Mécanique du Solide vs. Mécanique des Fluides

La Pression

Si une force est répartie uniformément sur une surface et agit normalement à cette surface, la pression est le rapport entre cette force normale et l'aire de la surface.

La formule de la pression est:

• Unité de la pression: Newton par mètre carré (N/m) ou Pascal (Pa).

Quelques Valeurs de Masse Volumique et de Pression

• Pression atmosphérique:

• Conversions de pression:

Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède stipule que tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, dirigée de bas en haut, de magnitude égale au poids du volume de fluide déplacé (soit le volume de l'objet).

Formule

La force de la poussée d'Archimède () est donnée par la formule:

• : Masse volumique du fluide.

• : Accélération de la gravité.

• : Volume du fluide déplacé par l'objet (soit le volume de l'objet).

Quand un objet de volume est immergé dans un fluide et suspendu à une corde:

• Équilibre des forces:

  • : Poussée d'Archimède

  • : Tension dans la corde

  • : Poids de l'objet

• Poids de l'objet: ( est la masse volumique de l'objet)

• Tension dans la corde:

La tension dans la corde est réduite par le poids du fluide déplacé.

Mesure de la Masse Volumique

Le principe d'Archimède est un outil efficace pour mesurer la masse volumique d'un solide. La tension mesurée dans la corde peut être utilisée pour déterminer la masse volumique du matériau.

Exemple pratique:

Un morceau de métal de volume inconnu est suspendu à une corde. Avant immersion, la tension est de 10 N. Après immersion dans l'eau, la tension est de 8 N. Calculons la masse volumique du métal.

1. Poids réel (avant immersion): .

2. Poids apparent (après immersion): .

3. Poussée d'Archimède: .

4. On sait que . Pour l'eau, .

5. Donc .

6. La masse du métal est .

7. Masse volumique du métal: .

Objet Flottant

Un objet moins dense que le fluide flotte en étant partiellement immergé. L'équilibre est atteint lorsque le poids de l'objet est égal à la poussée d'Archimède exercée par le volume immergé.

Exemple des icebergs:

La masse volumique de la glace vaut et celle de l'eau de mer . Calculons la fraction d'un iceberg qui est immergée.

1. Poids de l'iceberg: .

2. Poussée d'Archimède: .

3. À l'équilibre, .

4. .

5. La fraction immergée est .

6. Fraction immergée = .

Ainsi, environ 89,8% d'un iceberg est immergé.

Conservation du Débit

Le débit dans une canalisation est le volume de fluide qui la traverse par unité de temps .

La formule du débit est:, et l'unité est en .

Aussi, le débit peut être exprimé comme: , d'où .

• : Section transversale de la canalisation.

• : Vitesse moyenne du fluide.

Principe de conservation du débit: Dans un système fermé sans fuite ni apport,le débit reste constant.

• Cette relation implique que si la section se réduit, la vitesse du fluide doit augmenter pour maintenir le débit constant.

  • Si .

• Si l'écoulement n'est pas uniforme, on utilise les vitesses moyennes: .

Écoulements Laminaires et Turbulents

• Écoulement laminaire: Caractérisé par un mouvement ordonné du fluide en couches parallèles, sans mélange significatif entre elles.

• Écoulement turbulent: Caractérisé par des fluctuations irrégulières de vitesse et de pression, créant des tourbillons et un mélange intense.

Cette distinction sera approfondie dans les chapitres suivants.

Théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli est une application du principe de conservation de l'énergie aux fluides parfaits en mouvement. Il établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide.

Hypothèses

Le théorème de Bernoulli est applicable sous les conditions suivantes:

1. Fluide incompressible: La masse volumique du fluide reste constante.

2. Fluide non visqueux: Absence de frottements internes = rien à l’intérieur ne freine le mouvement
   = l’énergie ne se perd pas en chaleur ou en frottements (pas de dissipation d'énergie =énergie ne disparaît pas
   = elle reste toujours la même, elle change juste de forme (mouvement ↔ position)).

3. Écoulement laminaire: Le fluide s'écoule en lignes de courant parallèles, sans turbulence.

4. Régime d'écoulement stationnaire: La vitesse du fluide en un point donné ne change pas au cours du temps.

Formule

L'équation de Bernoulli est:

• : Pression statique du fluide.

• : Masse volumique du fluide.

• : Vitesse du fluide.

• : Accélération de la gravité.

• : Hauteur ou altitude par rapport à un niveau de référence.

Cette équation exprime la conservation de l'énergie mécanique totale par unité de volume pour un fluide parfait.

Fluides au Repos (Application du Théorème de Bernoulli avec )

Lorsque le fluide est au repos, la vitesse est nulle. L'équation de Bernoulli se simplifie en:

Cette relation implique plusieurs observations importantes pour les fluides au repos:

1. Augmentation de la pression avec la profondeur:

   • (où est la profondeur).

   • La pression augmente linéairement avec la profondeur. Ceci explique la résistance des sous-marins et la nécessité des paliers pour les plongeurs.

2. Pression constante à profondeur constante:

   • Si , alors .

   • Dans un fluide au repos et incompressible, la pression est la même en tout point situé à la même profondeur.

3. Vases communicants:

   • Les surfaces libres des liquides au repos dans des vases communicants de forme quelconque sont au même niveau. Par exemple, .

<h4id="le-manometre">Le Manomètre

Un manomètre est un appareil utilisé pour mesurer la pression.

Le rôle de la gravitation dans la circulation sanguine:

• En position debout, la pression sanguine varie avec la hauteur due à la gravité.

• (en négligeant la vitesse d'écoulement du sang).

• Si ,cela implique . Cela signifie que la pression est plus élevée dans les pieds () et plus faible dans la tête ().

• Ceci peut expliquer pourquoi certains animaux ne supportent pas de garder la tête en hauteurlongtemps, car la pression dans le cerveau peut chuter dangereusement.

Mesure de la Tension Artérielle au Sphygmomanomètre

La mesure de la tension artérielle se fait généralement sur le bras, qui est approximativement à la même hauteur que le cœur, pour minimiser l'influence de la gravité.

Méthode:

1. Le brassard est gonflé jusqu'à ce qu'il comprime l'artère brachiale et arrête le flux sanguin.

2. La pression du brassard est progressivement diminuée.

   • Lorsque la pression du brassard est égale à la pression systolique (P_max), le sang commence à passer par intermittence à travers l'artère comprimée, provoquant un son de tapotement (sons de Korotkoff) qui est détecté par un stéthoscope. C'est l'écoulement qui devient turbulent.

   • La pression du brassard continue de diminuer. Lorsque les sons deviennent continus ou disparaissent, cela indique que l'écoulement est redevenu laminaire et que la pression du brassard est égale à la pression diastolique (P_min).

Conséquences Dynamiques du Théorème de Bernoulli

Dans ces cas, le terme dynamique n'est pas négligeable, mais la variation d'altitude () est considérée comme négligeable.

L'équation de Bernoulli simplifiée est: .

Il en résulte que la pression diminue lorsque la vitesse du fluide augmente, pour une altitude constante.

Exemple:

Pour un écoulement horizontal entre deux points A et B:

• .

• Si et (point de stagnation), alors .

• Ceci montre une réduction de la pression lorsque la vitesse augmente.

Quand la Vitesse Met en Ébullition: Phénomène de Cavitation

La cavitation est la formation de bulles de vapeur dans un liquide soumis à une diminution rapide de pression.

• Lorsque la vitesse du fluide augmente (par exemple, autour des hélices de bateau ou dans des pompes), la pression locale peut chuter en dessous de la pression de vapeur du liquide.

• Cela conduit à la formation de bulles de vapeur, qui implosent violemment en retournant vers des zones de haute pression, provoquant des dommages matériels et du bruit.

Souffler pour Aspirer: Principe de Fonctionnement d'un Pulvérisateur

Les pulvérisateurs (venturis) utilisent l'effet Bernoulli.

1. Un courant d'air à haute vitesse est créé au-dessus d'un tube plongeant dans un liquide.

2. L'augmentation de la vitesse de l'air entraîne une diminution de la pression (selon Bernoulli) au-dessus du tube.

3. Cette basse pression crée une aspiration, tirant le liquide vers le haut dans le tube,où il est ensuite atomisé par le courant d'air.

Effet du Rétrécissement d'un Vaisseau Sanguin (Sténose)

La formation d'une plaque d'artériosclérose rétrécit la section d'un vaisseau sanguin.

1. Conservation du débit: . Si (section normale) > (section rétrécie), alors . La vitesse du sang augmente dans la zone rétrécie.

2. Théorème de Bernoulli: .

   • Puisque , il s'ensuit que . La pression du sang diminue dans la zone rétrécie.

Cette chute de pression dans la zone rétrécie peut entraîner un risque d'écrasement du vaisseau (phénomène de collapsus) si la pression externe excède la pression interne réduite, aggravant la sténose.

Points Clés à Retenir

• Les fluides parfaits sont une idéalisation sans viscosité ou frottements.

• La pression est une force par unité de surface, etelle augmente avec la profondeur dans un fluide au repos.

• Le principe d'Archimède explique la flottabilité par la poussée vers le haut égale au poids du fluide déplacé.

• La conservation du débit () implique qu'un rétrécissement d'une canalisation augmente la vitesse du fluide.

• Le théorème de Bernoulli relie pression, vitesse et hauteur dans un fluide parfait, montrant que l'augmentation de la vitesse est associée à une diminution de la pression (pour une altitude constante).

• Les applications de Bernoulli incluent les pulvérisateurs et expliquent les conséquences des sténoses vasculaires.