Fonction Exponentielle:1

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Simplification, propriétés et applications de la fonction exponentielle, incluant la résolution d'équations/inéquations et l'étude de fonctions.

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Frage

Comment dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = (x+1)e^x?

Antwort

Calculer la dérivée f'(x) = xe^x, étudier son signe, puis dresser le tableau.

Frage

Comment simplifier l'écriture de C = 1+10?

Antwort

L'écriture se simplifie en C = 11.

Frage

Comment déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0?

Antwort

L'équation est

y = f'(0)x + f(0)

Frage

Comment résoudre l'inéquation e^x-1 ≥ 1 dans ℝ?

Antwort

L'inéquation e^x-1 ≥ 1 se résout en x ≥ 1.

Frage

Que déduit-on de e^a < e^b pour a et b réels?

Antwort

e^a < e^b implique a < b.

Frage

Comment simplifier l'écriture de B = (5)6xe^-3?

Antwort

B = 5⁶ x e^-3 = 15625 x e^-3.

Frage

Comment calculer la dérivée de la fonction f(x) = (x+1)e^x?

Antwort

La dérivée de f(x) = (x+1)e^x est

f'(x) = e^x(x+2)

Frage

Comment résoudre l'équation e^x-3 - 2 = 0 dans ℝ?

Antwort

On ajoute 2 puis on applique le logarithme népérien :

x = \ln(2) + 3

Frage

Comment esquisser la courbe représentative de f(x) = (x+1)e^x?

Antwort

Étudier f'(x), dresser le tableau de variations, trouver les limites et la tangente en x=0.

Frage

Quelle est la propriété de la fonction exponentielle concernant e^a = e^b?

Antwort

Si e^a = e^b, alors a = b.

Fonction Exponentielle : Fiche Récapitulative

1. Simplifier les Écritures (Propriétés des puissances)

Les calculs avec la fonction exponentielle suivent les mêmes règles que les puissances.

Produit :
Quotient :
Inverse :
Puissance :
Valeurs remarquables : et

Exemples de simplification :

2. Résoudre Équations et Inéquations

Propriété fondamentale : La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Cette propriété a deux conséquences directes pour la résolution :

Pour les équations :
Pour les inéquations : (l'ordre est conservé)

Applications :

Résoudre l'équation :
En utilisant la propriété, on a : .

. Solution : .
Résoudre l'inéquation :
On sait que , donc l'inéquation s'écrit .
La fonction étant croissante, on garde le sens de l'inégalité : .
. Solution : .

3. Méthode : Étudier une fonction exponentielle

Soit la fonction définie sur par .

Calcul de la dérivée
On utilise la formule de dérivation d'un produit avec :
La dérivée est .

Tableau de variations de
Le signe de ne dépend que de car toujours !

Calcul des limites : (croissances comparées) et .
Minimum en : .

			-2
Signe de		-	0	+
Variations de	0	↘		↗

Équation de la tangente en
La formule est avec .
L'équation de la tangente est .

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