Differentiability and Derivatives in Analysis

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This note covers the definition of differentiability, introduces the derivative, explores left and right derivatives, and discusses the relationship between differentiability and continuity. It also details properties of derivatives, including rules for linear combinations, products, quotients, and compositions. The note further explains the derivative of inverse functions, higher-order derivatives, and introduces the concept of class C^n functions. Finally, it presents theorems such as Rolle's Theorem, the Mean Value Theorem, and L'Hôpital's Rule, along with applications in determining function monotonicity and finding extrema.

Ce chapitre explore la dérivabilité des fonctions réelles, les propriétés des dérivées et leurs applications, des fondements aux théorèmes avancés.

1. Dérivabilité en un point et sur un intervalle

Soit un intervalle de et une fonction.

1.1. Définition du nombre dérivé

Une fonction est dérivable en si la limite suivante existe et est finie :

Cette limite est le nombre dérivé de en , noté ou .
Alternative : (taux d'accroissement).

1.2. Fonction dérivée

est dérivable sur si elle est dérivable en tout point .
La fonction est appelée la fonction dérivée de .
L'ensemble des fonctions dérivables sur est noté .

1.3. Tangente

Si est dérivable en , la droite d'équation est la tangente de en . Son coefficient directeur est .
Si , admet une tangente verticale en (équation ).
Exemple : n'est pas dérivable en mais y admet une tangente verticale.

1.4. Dérivabilité et continuité

Théorème : Si est dérivable en , alors est continue en .
Attention : La réciproque est fausse (ex: est continue en mais non dérivable). C'est pourquoi on utilise rarement cette propriété dans les exercices (il est plus difficile de prouver la dérivabilité que la continuité).

1.5. Dérivabilité à gauche et à droite

Dérivable à gauche en si existe et est finie ().
Dérivable à droite en si existe et est finie ().
Théorème : est dérivable en est dérivable à gauche et à droite en et .
Exemple : Pour en , et . Comme , n'est pas dérivable en (point anguleux).

2. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient deux fonctions dérivables en .

2.1. Règles de dérivation

Combinaison linéaire : .
Produit : .
Quotient : Si , alors .
Composition : Si est définie et dérivable en , alors .

2.2. Dérivée d'une fonction réciproque

Théorème : Si est bijective, dérivable en et , alors est dérivable en et .
De manière équivalente : si ne s'annule pas sur .

3. Formules de dérivation des fonctions usuelles

Le tableau ci-dessous synthétise les dérivées de fonctions courantes () et de leurs compositions ().


()


()

4. Dérivées d'ordre supérieur et fonctions de classe

4.1. Dérivées successives

Dérivée -ème ( ou ) : définie par récurrence, et .
Notations : pour , pour , etc.

4.2. Fonctions de classe

Classe : est fois dérivable et est continue. Noté .
Classe : est fois dérivable pour tout . Noté .
Hiérarchie : .

4.3. Propriétés des fonctions de classe

Combinaison linéaire : Si , alors et .
Formule de Leibniz (produit) : Si , alors et .
Quotient, composition, réciproque : Ces opérations préservent aussi la classe sous les mêmes conditions que pour la dérivabilité simple.

5. Extrema et théorèmes de valeur moyenne

5.1. Extrema locaux

Maximum local en : tel que .
Minimum local en : tel que .
Proposition : Si est dérivable sur et admet un extremum local en (non extrémité), alors .
Attention : La réciproque est fausse ( en a mais pas d'extremum). Ne s'applique pas aux extrémités de l'intervalle.

5.2. Théorèmes fondamentaux

Théorème de Rolle : Soit continue sur , dérivable sur , et . Alors tel que .
Théorème des accroissements finis (TAF) : Soit continue sur et dérivable sur . Alors tel que .
- Signification graphique : Il existe un point où la tangente est parallèle à la droite sécante joignant et .
- Le TAF est une généralisation du théorème de Rolle.

5.3. Applications du TAF

Variations de fonction :
1. constante sur nulle sur .
2. croissante (décroissante) sur positive (négative) ou nulle sur .
Attention : Valable uniquement sur un intervalle. Sur une union d'intervalles comme , négative n'implique pas décroissante globalement (ex: ).
Croissance stricte : Si est strictement positive (sauf en un nombre fini de points où elle s'annule) sur , alors est strictement croissante sur .

5.4. Inégalité des accroissements finis

Si pour , alors .
Si pour , alors .

5.5. Règle de l'Hospital

Pour lever une forme indéterminée (ou , non couvert ici).
Condition : dérivables sur , , et pour .
Règle : Si , alors .
Utilisation : Dériver le numérateur et le dénominateur séparément pour simplifier la limite.

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