Cours 4 : Dérivées

Dérivées

En mathématiques, la dérivée d'une fonction mesure le taux auquel la valeur de la fonction change par rapport à un changement de sa variable indépendante. C'est un concept fondamental du calcul différentiel.

Définition Formelle

Soit , une fonction et . La fonction est dérivable au point si la limite suivante existe et est finie :

Cette limite est appelée le nombre dérivé de en , que l'on note ou .

Interprétations de la Dérivée

• Vitesse instantanée : Si représente la position d'un objet en fonction du temps , alors représente sa vitesse instantanée.

• Pente de la tangente : La dérivée est la pente de la droite tangente au graphe de la fonction au point .

Fonction Dérivée

Si une fonction est dérivable en tous les points de son domaine, on dit que la fonction est dérivable et on définit la fonction dérivée par :

Dérivation par la Définition

Dérivée de

Pour une fonction linéaire :

Dérivée de

Pour la fonction quadratique :

Dérivée de ()

Pour la fonction :

Dérivée de ()

Pour la fonction :

(En posant , quand , )

$= \frac{</p><p style="text-align: left;">1}{2} x^{-\frac{1}{2}}.$

Dérivée de

Pour la fonction :

(Utilisation de la formule d'addition du sinus: )

Puisque :

et ,

alors :

Règles de Dérivation

Règle de la Somme

La dérivée de la somme de deux fonctions et est la somme de leurs dérivées.

Démonstration :

Exemple :

Règle du Multiple Constant

La dérivée du produit d'une constante par une fonction est le produit de la constante par la dérivée de la fonction.

Démonstration :

Exemples :

Règle du Produit

La dérivée du produit de deux fonctions et est :

Démonstration :

$\frac{d}{dx}(f \cdot g)(x)</p><p style="text-align: left;"> = \lim_{h \to 0} \frac{(f \cdot g)(x + h) - (f \cdot g)(x)}{h}$

(Ajout et soustraction d'un terme pour faciliter la factorisation)

Exemple :

(En utilisant la règle de la puissance )

Règle de la Chaîne

Pour la composition de fonctions , sa dérivée est :

Exemples :

• (Ici, et )

• (Ici, et )

Règle du Quotient

La dérivée du quotient de deux fonctions et est :

Démonstration :

On peut voir comme . En utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne pour :

(Mise au même dénominateur)

Exemple :

Dérivée de

(Ici, et )

(On sait que et )

(En utilisant l'identité trigonométrique )

Points Clés

• La dérivée est définie par une limite et représente le taux de changement instantané ou la pente de la tangente.

• Des règles spécifiques (somme, produit, quotient, chaîne, multiple constant) simplifient le calcul des dérivées pour les fonctions complexes.

• Comprendre la démonstration de ces règles renforce la compréhension des principes fondamentaux du calcul.