Conducteurs en Équilibre Électrostatique

9. Conducteur

Un conducteur est un corps contenant des charges libres (porteurs de charges) capables de se déplacer sous l'action d'une force, même minime.

• Ces charges se déplacent sous l'action d'un champ électrique, d'un champ magnétique ou d'un gradient de température.

Conducteur isolé

Un métal conducteur isolé est électriquement neutre. À une échelle macroscopique, il ne présente pas de charges nettes.

Effet d'un champ électrique extérieur sur la matière

Sous l'effet d'un champ électrique externe, les charges positives et négatives des molécules (même apolaires) se déplacent légèrement, induisant un moment dipolaire et un champ interne.

Isolants

• Les molécules apolaires et polaires s'orientent dans la direction du champ appliqué.

• Cette polarisation crée une charge résultante positive d'un côté et négative de l'autre.

Effet d'un champ électrique extérieur sur un conducteur

Lorsqu'un champ électrique externe est appliqué à un conducteur, les charges libres se redistribuent pour créer un champ électrique interne s'opposant au champ appliqué. (diapo4). Ce déplacement cesse lorsque le champ interne compense exactement le champ externe, résultant en un champ électrique total nul à l'intérieur du conducteur à l'équilibre électrostatique.

À l'intérieur d'un conducteur en équilibre

• Le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur en équilibre est nul.

• La densité volumique de charge dans le conducteur est nulle.

• Si le conducteur est chargé, les charges électriques se localisent sur sa surface, définissant une densité surfacique de charge \(\sigma\).

D'après le théorème de Gauss et la relation entre champ et potentiel : (diapo 5 les 2 formules)

Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles, et le champ électrique est normal à la surface du conducteur.

9.2) Systèmes de conducteurs en équilibre

Théorème des éléments correspondants

Pour deux conducteurs (1 et 2) en regard, les surfaces en regard portent des charges opposées.

Si \(S\) est une surface fermée limitée par des lignes de champ entre les conducteurs et fermée à l'intérieur de ceux-ci, alors :

• (formule 1er diapo 7 )

• D'où, par le théorème de Gauss : (formule diapo 7 d'ou)

Influence électrostatique

Lorsqu'un conducteur chargé A1 est placé à proximité d'un conducteur neutre A2, le champ électrostatique de A1 induit une redistribution des charges sur A2, créant une densité surfacique sigma2 non-uniforme.

• Cette redistribution sur A2 modifie en retour la distribution de charges sigma1 sur A1.

• Cette action réciproque est appelée influence électrostatique.

Cas d'influence partielle

Si les lignes de champ de A1 n'aboutissent pas toutes sur A2, alors |q2| < |Q1| .

Cas d'influence totale (blindage)

Si A1est entièrement entouré par A2, toutes les lignes de champ de A1 aboutissent sur la face interne de A2.

• La charge induite sur la face interne de A2 est Q2(int) = -Q1 (Théorème de Faraday).

• La charge électrique totale sur A2 est Q2 = Q2(int) + Q2(ext) = -Q1 + Q2(ext) .

9.3) Champ au voisinage de la surface d'un conducteur

Un conducteur à l'équilibre est un volume équipotentiel, donc sa surface est une surface équipotentielle. Les lignes de champ sont orthogonales à ces surfaces.

• Le champ électrique au voisinage d'un conducteur est orthogonal à sa surface.

Champ créé par un plan infini

Le champ électrique créé par un plan infini chargé avec une densité surfacique sigma est :

(formule 166)

• Selon ez si z > 0

• Selon -ez si z < 0

Champ au voisinage d'un conducteur (Théorème de Coulomb)

En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre infinitésimal traversant la surface d'un conducteur en équilibre :

• Le champ à l'intérieur du conducteur est nul (formule diapo 167)

• Le flux à travers la surface latérale du cylindre est nul (car E est normal à la surface).

• Le flux à travers la surface extérieure est (formule avant derniere flech) :

• La charge interne est (formule Qint = sigma dS)

Ainsi, le champ électrique juste à l'extérieur de la surface d'un conducteur est : (formule derniere fleche diapo 11)

9.4) Pouvoir des pointes

Pour une sphère conductrice de rayon r et de charge Q, le potentiel à sa surface est (formule 1er 13)

Si deux sphères conductrices de rayons R1 et R2 (R2 < R1) sont mises en contact, elles atteignent le même potentiel V

En exprimant le potentiel en fonction de la densité surfacique de charge sigma : (formule les 3)

Puisque (R2 < R1), il en résulte que ( sigma2 > \sigma1 ). La densité de charge est plus élevée sur la sphère de plus petit rayon.

D'après le théorème de Coulomb , le champ électrostatique est plus intense au voisinage d'un conducteur dont le rayon de courbure est petit.

9.5) Propriétés électriques d'un conducteur creux

Pour un conducteur creux ne renfermant aucune charge électrique dans sa cavité :

• La surface de la cavité est une surface équipotentielle.

• Le potentiel \(V\) est constant à l'intérieur de la cavité et égal au potentiel du conducteur.

• Par conséquent, le champ électrique à l'intérieur de la cavité est nul : \( \vec{E}_{i} = \overrightarrow{0} \).

• En appliquant le théorème de Gauss, la charge interne à la cavité est nulle : \( Q_{int}=0 \).

• La charge est répartie uniquement sur la surface externe du conducteur creux.

Cage de Faraday

La cage de Faraday est un dispositif qui démontre expérimentalement que le champ électrique à l'intérieur d'une enceinte conductrice fermée est nul, même en présence de champs externes intenses.

• Elle est utilisée pour protéger des équipements sensibles des champs électriques parasites ou pour assurer la sécurité des personnes lors d'expériences à très haute tension.

9.6) Capacité d'un conducteur

La capacité d'un conducteur est sa capacité à accumuler des charges électriques sous un potentiel donné.

Pour un conducteur en équilibre électrostatique portant une charge (Q) et porté à un potentiel (V), la relation entre charge et potentiel est une constante : (formule Diapo 19) :

• Cette constante positive (C) est appelée capacité du conducteur, exprimée en Farad (F).

• Elle ne dépend que de la géométrie du conducteur.

Remarque :

• La capacité (C) est toujours positive.

• Elle dépend des caractéristiques géométriques et du matériau du conducteur.

• Les unités courantes sont le nF (nanofarad) ou le pF (picofarad).

• La permittivité du vide, a la dimension de F.m^-1. (formule 20)

• Formule générale pour un condensateur plan : (formule)

9.7) Énergie potentielle électrostatique d'un conducteur

Pour un conducteur en équilibre électrostatique portant une charge (Q), un potentiel (V) et ayant une capacité (C), l'énergie potentielle électrostatique Ep est donnée par : (formule)