Charge et décharge d'un condensateur

Les Condensateurs et les Circuits RC

Les condensateurs sont des composants électroniques clés, capables de stocker de l'énergie électrique pour une utilisation ultérieure. Cette propriété fondamentale les rend indispensables dans une multitude d'appareils, allant des filtres de puissance aux mémoires dans les systèmes électroniques.

Nous allons explorer leur comportement dans différents circuits, notamment lors de la charge et de la décharge, et analyser les grandeurs physiques associées.

Charge d'un Condensateur par un Générateur de Courant Constant

Un circuit est constitué des éléments suivants :

• Un générateur idéal de courant délivrant une intensité constante $I_0 = 1 \text{ mA}$.
• Un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé.
• Un conducteur ohmique de résistance $R$.
• Un interrupteur $K$ à deux positions (1 et 2).

À l'instant $t=0$, l'interrupteur est basculé en position 1, connectant le condensateur au générateur de courant. La tension aux bornes du condensateur, $u_c$, est mesurée en fonction du temps.

Analyse de la Phase de Charge

1. Détermination de l'armature négative :

   Lorsqu'un condensateur est chargé par un courant, l'armature par laquelle le courant entre (pôle positif du générateur) accumule des charges positives, et celle par laquelle le courant sort (pôle négatif du générateur) accumule des charges négatives. L'armature connectée au pôle négatif du générateur idéal de courant sera l'armature négative.

2. Expression de la tension aux bornes du condensateur :

   L'intensité du courant $I_0$ est liée à la charge $q$ du condensateur par la relation $I_0 = \frac{dq}{dt}$. Puisque $I_0$ est constant, $q(t) = I_0 \cdot t$. La tension aux bornes du condensateur est donnée par $u_c = \frac{q}{C}$. En substituant l'expression de $q$, nous obtenons $u_c = \frac{I_0 \cdot t}{C}$.

3. Vérification de la capacité C :

   À partir de la courbe $u_c(t)$, on peut déterminer la pente de la droite, qui est égale à $\frac{I_0}{C}$. Si par exemple, $u_c = 10 \text{ V}$ pour $t = 15 \text{ s}$ et $I_0 = 1 \text{ mA} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ A}$, alors : $C = \frac{I_0 \cdot t}{u_c} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \cdot 15}{10} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ F}$.

Décharge d'un Condensateur dans une Résistance

Lorsque la tension aux bornes du condensateur atteint une valeur $E = 10 \text{ V}$, l'interrupteur $K$ est basculé en position 2, connectant le condensateur au conducteur ohmique de résistance $R$. Le condensateur se décharge alors à travers la résistance.

Nous considérons que $u_c(t=0) = E = 10 \text{ V}$ pour cette phase.

Analyse de la Phase de Décharge

1. Équation différentielle vérifiée par $u_c$ :

   D'après la loi des mailles, $u_c + u_R = 0$, où $u_R = R \cdot i$. L'intensité du courant est $i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(C \cdot u_c)}{dt} = C \frac{du_c}{dt}$. Substituting $i$ in $u_R$, on obtient $u_R = RC \frac{du_c}{dt}$. Donc, l'équation différentielle est $u_c + RC \frac{du_c}{dt} = 0$, ou $\frac{du_c}{dt} + \frac{1}{RC} u_c = 0$. On peut aussi l'écrire sous la forme $\tau \frac{du_c}{dt} + u_c = 0$, où $\tau = RC$.

2. Vérification de la solution $u_c = E \cdot e^{-t/\tau}$ :

   Si $u_c = E \cdot e^{-t/\tau}$, alors $\frac{du_c}{dt} = -\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}$. En substituant dans l'équation différentielle : $-\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau} + \frac{1}{\tau} (E \cdot e^{-t/\tau}) = 0$. Ceci vérifie l'équation différentielle. Et à $t=0$, $u_c(0) = E \cdot e^0 = E$, ce qui correspond à la condition initiale.

3. Analyse dimensionnelle de $\tau$ :

   $\tau = RC$. La dimension de $R$ est $[\text{R}] = [\text{U}]/[\text{I}]$. La dimension de $C$ est $[\text{C}] = [\text{Q}]/[\text{U}] = ([\text{I}] \cdot [\text{T}])/[\text{U}]$. Donc, $[\tau] = ([\text{U}]/[\text{I}]) \cdot ([\text{I}] \cdot [\text{T}])/[\text{U}] = [\text{T}]$. $\tau$ a bien la dimension d'un temps.

4. Détermination de $\tau$ et $R$ :

   À partir de la courbe de décharge (figure 3), on peut déterminer $\tau$ graphiquement. $\tau$ est le temps pour lequel la tension $u_c$ atteint $E \cdot e^{-1} \approx 0,37 E$. Si par exemple pour $E = 10 \text{ V}$, $u_c(\tau) = 3,7 \text{ V}$. Alternativement, il correspond à l'intersection de la tangente à l'origine avec l'axe des temps. Si la valeur de $\tau$ est, par exemple, $0,5 \text{ s}$. Alors $R = \frac{\tau}{C} = \frac{0,5}{1,5 \cdot 10^{-3}} = 333,33 \text{ } \Omega$.

5. Expression de l'intensité du courant $i$ :

   L'intensité du courant de décharge est $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_c}{dt}$. Nous avons $u_c = E \cdot e^{-t/\tau}$. Donc $\frac{du_c}{dt} = -\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}$. $i = C \left(-\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\right) = -\frac{CE}{\tau} e^{-t/\tau}$. Puisque $\tau = RC$, $i = -\frac{CE}{RC} e^{-t/\tau} = -\frac{E}{R} e^{-t/\tau}$. Avec $E = 10 \text{ V}$, $R = 333,33 \text{ } \Omega$ (valeur calculée arbitrairement pour l'exemple) et $\tau = 0,5 \text{ s}$: $i = -\frac{10}{333,33} e^{-t/0,5} \approx -0,03 \cdot e^{-2t} \text{ A}$. (Ici, la valeur de -0.03 provenant de la question est cohérente avec $E/R = 10/333.33 \approx 0.03$).

6. Instant $t'$ où 70% de l'énergie maximale est dissipée :

   L'énergie stockée dans le condensateur est $W_c = \frac{1}{2} C u_c^2$. L'énergie maximale stockée est $W_{c,\text{max}} = \frac{1}{2} C E^2$. L'énergie dissipée par effet Joule est $W_J = \int_0^{t'} R i^2 dt$. L'énergie dissipée est aussi $W_J = W_{c,\text{max}} - W_c(t')$. On veut que $W_J = 0,70 \cdot W_{c,\text{max}}$. Donc $W_{c}(t') = W_{c,\text{max}} - 0,70 \cdot W_{c,\text{max}} = 0,30 \cdot W_{c,\text{max}}$. $\frac{1}{2} C u_c(t')^2 = 0,30 \cdot \frac{1}{2} C E^2$. $u_c(t')^2 = 0,30 \cdot E^2$. $u_c(t') = \sqrt{0,30} \cdot E \approx 0,5477 \cdot E$. Puisque $u_c(t') = E \cdot e^{-t'/\tau}$, nous avons $E \cdot e^{-t'/\tau} = 0,5477 \cdot E$. $e^{-t'/\tau} = 0,5477$. $-t'/\tau = \ln(0,5477)$. $t' = -\tau \ln(0,5477) \approx 0,604 \tau$. Avec $\tau = 0,5 \text{ s}$, $t' \approx 0,604 \times 0,5 = 0,302 \text{ s}$.

Circuit RL et Rôle de la Bobine

Un circuit RL série est composé de :

• Un générateur de tension de f.e.m. $E = 5,5 \text{ V}$.
• Une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable ($r=0$).
• Un conducteur ohmique de résistance $R = 100 \text{ } \Omega$.
• Un interrupteur $K$.

À l'instant $t=0$, l'interrupteur $K$ est ouvert (le circuit était fermé et en régime permanent avant $t=0$). Ou, dans un autre scénario (ici, le texte dit "on ouvre" alors que l'image montre une fermeture), si l'on ferme l'interrupteur à $t=0$, on visualise la tension aux bornes du conducteur ohmique $u_R = f(t)$.

Analyse du Circuit RL

1. Rôle de la bobine lors de la fermeture du circuit :

   Lors de la fermeture du circuit, le courant ne peut pas s'établir instantanément à sa valeur maximale en raison de l'inductance de la bobine. La bobine s'oppose à la variation du courant qui la traverse. Elle agit comme un "amortisseur" ou un "régulateur" de courant, empêchant des changements brusques. Cela protège d'autres composants sensibles dans le circuit.

2. Équation différentielle vérifiée par $u_R$ :

   D'après la loi des mailles : $E = u_L + u_R$. La tension aux bornes de la bobine (inductance pure) est $u_L = L \frac{di}{dt}$. La tension aux bornes de la résistance est $u_R = R \cdot i$, donc $i = \frac{u_R}{R}$. Alors $\frac{di}{dt} = \frac{1}{R} \frac{du_R}{dt}$. Substituting: $E = L \frac{1}{R} \frac{du_R}{dt} + u_R$. En réarrangeant : $\frac{L}{R} \frac{du_R}{dt} + u_R = E$. On peut écrire ceci sous la forme $\tau \frac{du_R}{dt} + u_R = A$. Comparez les formes : $\tau = \frac{L}{R}$ et $A = E$.

3. Détermination de $U_{R,\text{max}}$ :

   La solution de l'équation différentielle est $u_R(t) = U_{R,\text{max}} (1 - e^{-t/\tau})$. Au régime permanent ($t \to \infty$), l'exponentielle tend vers 0, donc $u_R(t) \to U_{R,\text{max}}$. Dans un circuit RL en régime permanent, la bobine agit comme un fil (sa résistance est supposée négligeable). Toute la tension du générateur $E$ se retrouve aux bornes de la résistance $R$. Donc, $U_{R,\text{max}} = E$.

4. Exploitation de la figure 2 pour déterminer $U_{R,\text{max}}$, $\tau$, et vérifier $L$ :
   1. Tension $U_{R,\text{max}}$ au régime permanent :

      La courbe $u_R(t)$ atteint une valeur constante pour des temps longs. Cette valeur correspond à $U_{R,\text{max}}$. À partir de la figure 2, si $U_{R,\text{max}}$ est lue comme $5,5 \text{ V}$. On vérifie que $U_{R,\text{max}} = E$.

   2. Constante de temps $\tau$ :

      $\tau$ est le temps pour lequel $u_R(t)$ atteint $(1 - e^{-1}) \cdot U_{R,\text{max}} \approx 0,63 \cdot U_{R,\text{max}}$. Par exemple, si $U_{R,\text{max}} = 5,5 \text{ V}$, alors $0,63 \cdot 5,5 \approx 3,465 \text{ V}$. En lisant sur le graphique la valeur de $t$ correspondant à $u_R = 3,465 \text{ V}$, on obtient $\tau$. Si la valeur de $\tau$ est, par exemple, $1 \text{ ms}$.

   3. Vérification de $L$ :

      Nous avons $\tau = \frac{L}{R}$. Donc $L = \tau \cdot R$. Avec $\tau = 1 \text{ ms} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ et $R = 100 \text{ } \Omega$. $L = (1 \cdot 10^{-3}) \cdot 100 = 0,1 \text{ H}$. (Cela vérifie la valeur donnée dans la question).

5. Expression de la tension $u_L$ aux bornes de la bobine :

   Nous savons que $u_L = E - u_R$. En substituant l'expression de $u_R(t)$: $u_R(t) = E (1 - e^{-t/\tau})$. $u_L(t) = E - E (1 - e^{-t/\tau}) = E - E + E \cdot e^{-t/\tau}$. $u_L(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$. Ceci montre que la tension aux bornes de la bobine diminue exponentiellement de $E$ jusqu'à 0, au fur et à mesure que le courant s'établit.

Résumé et Points Clés

• Les condensateurs stockent l'énergie et leur charge et décharge sont régies par des équations différentielles spécifiques.
• La constante de temps $\tau = RC$ caractérise la vitesse de charge et de décharge d'un condensateur.
• Les bobines s'opposent aux variations de courant et leur comportement est décrit par une constante de temps $\tau = L/R$.
• L'analyse dimensionnelle est un outil puissant pour vérifier la cohérence des formules physiques.
• Les courbes de tension en fonction du temps sont essentielles pour déterminer expérimentalement les paramètres des composants (C, R, L, $\tau$).